2013年广东省梅州市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

设集合A={x|x²-2x-3＜0，x∈R}，集合B=（-2，2），则A∩B为（ ）
A．（-1，2）
B．（-2，-1）
C．（-2，3）
D．（-2，2）

3. 难度：中等

下列函数中，在（0，+∞）上单调递增的偶函数是（ ）
A．y=cos
B．y=x³
C．y=
D．y=e^x+e^-x

4. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则a=（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（ ）

A．k＞4？
B．k＞5？
C．k＞6？
D．k＞7？

6. 难度：中等

把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

如图所示2X2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若不等式x²+2xy≤a（x²+y²）对于一切正数x，y恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为    ．

10. 难度：中等

在2012年8月15日那天，某物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：

价格x	9	905	M	10.5	11
销售量y	11	N	8	6	5

由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是：，且m+n=20，则其中的n=    ．

11. 难度：中等

展开式中的常数项为    ．

12. 难度：中等

设x，y满足，则z=x+y-3的最小值为    ．

13. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的l高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a²|-a²，且f（x）为R上的8高调函数，那么实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，圆ρ=2上的点到直线=3的距离的最小值是    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）
如图⊙O的直径AB=6cm，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，且∠CPA=30°，则BP=    cm．

三、解答题

16. 难度：中等

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．
（1）求角C
（2）若向量与共线，且c=3，求a、b的值．

17. 难度：中等

某工厂在试验阶段大量生产一种零件，这种零件有甲、乙两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响，按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品，为估计各项技术的达标概率，现从中抽取1000个零件进行检验，发现两项技术指标都达标的有600个，而甲项技术指标不达标的有250个．
（1）求一个零件经过检测不为合格品的概率及乙项技术指标达标的概率；
（2）任意抽取该零件3个，求至少有一个合格品的概率；
（3）任意抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求随机变量ξ的分布列．

18. 难度：中等

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E，F分别是AB、PD的中点．
（1）求证：AF∥平面PEC；
（2）求二面角P-EC-D的余弦值；
（3）求点B到平面PEC的距离．

19. 难度：中等

已知F₁，F₂分别是椭圆C：的上、下焦点，其中F₁也是抛物线C₁：x²=4y的焦点，点M是C₁与C₂在第二象限的交点，且．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）已知A（b，0），B（0，a），直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆C₁相交于点E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值．

20. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）当a=1时，∃x∈[1，e]使不等式f（x）≤m，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数，数列{a_n}满足a₁=3a，a_n+1=f（a_n），设，数列{b_n}的前n项和为T_n．
（1）求b₁，b₂的值；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）求证：．