2013年北京市朝阳区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={0，1，3}，N={x|x=3a，a∈M}，则M∪N=（ ）
A．{0}
B．{0，3}
C．{1，3，9}
D．{0，1，3，9}

2. 难度：中等

已知p：（x-1）（x-2）≤0，q：log₂（x+1）≥1，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

函数（x∈R）的图象的一条对称轴方程是（ ）
A．x=0
B．
C．
D．

4. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输出的结果是16，则判断框内的条件是（ ）

A．n＞6？
B．n≥7？
C．n＞8？
D．n＞9？

5. 难度：中等

若双曲线的渐近线与抛物线y=x²+2相切，则此双曲线的离心率等于（ ）
A．2
B．3
C．
D．9

6. 难度：中等

将一个质点随机投放在关于x，y的不等式组所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．1

8. 难度：中等

已知函数f（x）=a•2^|x|+1（a≠0），定义函数给出下列命题：
①F（x）=|f（x）|； 
②函数F（x）是奇函数；
③当a＜0时，若mn＜0，m+n＞0，总有F（m）+F（n）＜0成立，
其中所有正确命题的序号是（ ）
A．②
B．①③
C．②③
D．①②

二、填空题

9. 难度：中等

设i为虚数单位，计算=    ．

10. 难度：中等

已知向量=（2，1），=（3，x），若（2-）⊥，则x的值为    ．

11. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差为-2，a₃是a₁与a₄的等比中项，则首项a₁=    ，前n项和S_n=    ．

12. 难度：中等

若直线l与圆x²+（y+1）²=4相交于A，B两点，且线段AB的中点坐标是（1，-2），则直线l的方程为    ．

13. 难度：中等

某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨（x为600的约数），运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x万元．若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买    吨．

14. 难度：中等

数列{2ⁿ-1}的前n项1，3，7，…，2ⁿ-1组成集合，从集合A_n中任取k（k=1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为T_k（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记S_n=T₁+T₂+…+T_n．例如当n=1时，A₁={1}，T₁=1，S₁=1；当n=2时，A₂={1，3}，T₁=1+3，T₂=1×3，S₂=1+3+1×3=7．则当n=3时，S₃=    ；试写出S_n=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（A）=．
（Ⅰ）求函数f（A）的最大值；
（Ⅱ）若，求b的值．

16. 难度：中等

为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间．
（Ⅰ）求实数a的值及参加“掷实心球”项目测试的人数；
（Ⅱ）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；
（Ⅲ）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生来自不同组的概率．

17. 难度：中等

如图，已知四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点．
（Ⅰ）求证：FG∥平面PDE；
（Ⅱ）求证：平面FGH⊥平面AEB；
（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点M，使PB⊥平面EFM？若存在，求出线段PM的长；若不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=，g（x）=alnx-x（a≠0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求证：当a＞0时，对于任意x₁，x₂∈（0，e]，总有g（x₁）＜f（x₂）成立．

19. 难度：中等

已知椭圆C：（a＞b＞0），C的右焦点F（1，0），长轴的左、右端点分别为A₁，A₂，且．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过焦点F斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于A，B两点，弦AB的垂直平分线与x轴相交于点D．试问椭圆C上是否存在点E使得四边形ADBE为菱形？若存在，试求点E到y轴的距离；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知实数x₁，x₂，…，x_n（n∈N^*且n≥2）满足|x_i|≤1（i=1，2，…，n），记．
（Ⅰ）求及S（1，1，-1，-1）的值；
（Ⅱ）当n=3时，求S（x₁，x₂，x₃）的最小值；
（Ⅲ）当n为奇数时，求S（x₁，x₂，…，x_n）的最小值．
注：表示x₁，x₂，…，x_n中任意两个数x_i，x_j（1≤i＜j≤n）的乘积之和．