2013年江苏省南京市、淮安市高考数学二模试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合A={2^a，3}，B={2，3}．若A∪B={1，2，3}，则实数a的值为    ．

2. 难度：中等

函数f（x）=sinxcosx的最小正周期是    ．

3. 难度：中等

若复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为    ．

4. 难度：中等

盒子中有大小相同的3只白球、2只黑球，若从中随机地摸出两只球，则两只球颜色相同的概率是    ．

5. 难度：中等

根据2012年初我国发布的《环境空气质量指数AQI技术规定（试行）》，AQI共分为六级：（0，50]为优，（50，100]为良，（100，150]为轻度污染，（150，200]为中度污染，（200，300]为重度污染，300以上为严重污染．2012年12月1日出版的《A市早报》对A市2012年11月份中30天的AQI进行了统计，频率分布直方图如图所示，根据频率分布直方图，可以看出A市该月环境空气质量优、良的总天数为    ．

6. 难度：中等

如图是一个算法流程图，其输出的n的值是    ．

7. 难度：中等

已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm，圆心角为的扇形，则此圆锥的高为    cm．

8. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，设过原点的直线l与圆C：（x-3）²+（y-1）²=4交于M、N两点，若MN，则直线l的斜率k的取值范围是    ．

9. 难度：中等

设数列{a_n}是公差不为0的等差数列，S_n为其前n项和，若，S₅=5，则a₇的值为    ．

10. 难度：中等

若函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2^x-1-3，则不等式f（x）＞1的解集为    ．

11. 难度：中等

在△ABC中，已知AB=2，BC=3，∠ABC=60°，BD⊥AC，D为垂足，则的值为    ．

12. 难度：中等

关于x的不等式（2ax-1）lnx≥0对任意x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的值为    ．

13. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：．设过点M（0，1）的直线l与双曲线C交于A、B两点，若，则直线l的斜率为    ．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=7n+2，数列{b_n}的通项公式为．若将数列{a_n}，{b_n}中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{c_n}，则c₉的值为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，
（1）求B；   
（2）若，求cosC的值．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，PB⊥平面ABCD，CD⊥BD，PB=AB=AD=1，点E在线段PA上，且满足PE=2EA．
（1）求三棱锥E-BAD的体积；
（2）求证：PC∥平面BDE．

17. 难度：中等

如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB，其中O为扇形所在圆的圆心，∠AOB=60°，广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在上选一点C，过C修建与OB平行的小路CD，与OA平行的小路CE，问C应选在何处，才能使得修建的道路CD与CE的总长最大，并说明理由．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}的各项都为正数，且对任意n∈N^*，都有（k为常数）．
（1）若，求证：a₁，a₂，a₃成等差数列；
（2）若k=0，且a₂，a₄，a₅成等差数列，求的值；
（3）已知a₁=a，a₂=b（a，b为常数），是否存在常数λ，使得a_n+a_n+2=λa_n+1对任意n∈N^*都成立？若存在．求出λ；若不存在，说明理由．

19. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P（x，y）在椭圆C上，F为椭圆的左焦点，直线l的方程为xx+3yy-6=0．
①求证：直线l与椭圆C有唯一的公共点；
②若点F关于直线l的对称点为Q，求证：当点P在椭圆C上运动时，直线PQ恒过定点，并求出此定点的坐标．

20. 难度：中等

设函数f（x）=x²-（a-2）x-alnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；
（3）若方程f（x）=c有两个不相等的实数根x₁，x₂，求证：．