2013年北京市丰台区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知变量x，y满足约束条件，则e^2x+y的最大值是（ ）
A．e³
B．e²
C．1
D．e^-4

2. 难度：中等

已知命题p：∀x∈（0，+∞），3^x＞2^x，命题q：∃x∈（-∞，0），3x＞2x，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q
B．p∧（￢q）
C．（￢p）∧q
D．（￢p）∧（￢q）

3. 难度：中等

已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x²-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（ ）
A．13
B．18
C．21
D．26

4. 难度：中等

如果函数y=f（x）图象上任意一点的坐标（x，y）都满足方程 lg（x+y）=lgx+lgy，那么正确的选项是（ ）
A．y=f（x）是区间（0，+∞）上的减函数，且x+y≤4
B．y=f（x）是区间（1，+∞）上的增函数，且x+y≥4
C．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4
D．y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≤4

5. 难度：中等

动圆C经过点F（1，0），并且与直线x=-1相切，若动圆C与直线总有公共点，则圆C的面积（ ）
A．有最大值8π
B．有最小值2π
C．有最小值3π
D．有最小值4π

二、填空题

6. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知直线C：（t是参数）被圆C：（θ是参数）截得的弦长为    ．

7. 难度：中等

某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70，80）内的人数是    ．

8. 难度：中等

如图，已知直线PD切⊙O于点D，直线PO交⊙O于点E，F．若，则⊙O的半径为    ；∠EFD=    ．

9. 难度：中等

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=1，BC=2，E是CD的中点，则=    ．

10. 难度：中等

某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是    ．

11. 难度：中等

已知M是集合{1，2，3，…，2k-1}（k∈N^*，k≥2）的非空子集，且当x∈M时，有2k-x∈M．记满足条件的集合M的个数为f（k），则f（2）=    ；f（k）=    ．

三、解答题

12. 难度：中等

已知函数f（x）=（sinx+cosx）²-2cos²x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在上的值域．

13. 难度：中等

如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB∥MD，且NB=1，MD=2；
（Ⅰ）求证：AM∥平面BCN；
（Ⅱ）求AN与平面MNC所成角的正弦值；
（Ⅲ）E为直线MN上一点，且平面ADE⊥平面MNC，求的值．

14. 难度：中等

在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会．抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元，再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元，最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元．
（Ⅰ）求甲和乙都不获奖的概率；
（Ⅱ）设X是甲获奖的金额，求X的分布列和均值EX．

15. 难度：中等

已知函数，g（x）=bx²+3x．
（Ⅰ）若曲线h（x）=f（x）-g（x）在点（1，0）处的切线斜率为0，求a，b的值；
（Ⅱ）当a∈[3，+∞），且ab=8时，求函数的单调区间，并求函数在区间[-2，-1]上的最小值．

16. 难度：中等

已知以原点为对称中心、F（2，0）为右焦点的椭圆C过P（2，），直线l：y=kx+m（k≠0）交椭圆C于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在实数k，使线段AB的垂直平分线经过点Q（0，3）？若存在求出 k的取值范围；若不存在，请说明理由．

17. 难度：中等

设满足以下两个条件的有穷数列a₁，a₂，…，a_n为n（n=2，3，4，…，）阶“期待数列”：
①a₁+a₂+a₃+…+a_n=0；
②|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=1．
（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
（Ⅱ）若某2k+1（k∈N^*）阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
（Ⅲ）记n阶“期待数列”的前k项和为S_k（k=1，2，3，…，n），试证：
（1）；     
（2）．

四、选择题

18. 难度：中等

复数z=在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

19. 难度：中等

设S_n为等比数列{a_n}的前n项和，2a₃+a₄=0，则（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

20. 难度：中等

执行如图的程序框图，输出k的值是（ ）

A．3
B．4
C．5
D．6