2013年天津市五区县高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i是虚数单位，复数等于（ ）
A．-1-i
B．-1+i
C．1-i
D．1+i

2. 难度：中等

已知实数x，y满足条件，那么2x-y的最大值为（ ）
A．-3
B．-2
C．1
D．2

3. 难度：中等

阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入的值为10时，输出S的值为（ ）

A．45
B．49
C．52
D．54

4. 难度：中等

设，则（ ）
A．b＜a＜c
B．a＜c＜b
C．a＜b＜c
D．a＜c＜a

5. 难度：中等

设x∈R，则“x＞0“是““的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

函数在区间（0，π）上零点的个数为（ ）
A．0
B．l
C．2
D．3

7. 难度：中等

直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=1，点D在斜边AB上，且，λ∈R，若，则λ=（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

下列函数中，同时具有性质：①图象过点（0，1）：②在区间（0，+∞）上是减函数；③是偶函数．这样的函数是（ ）
A．
B．f（x）=lg（|x|+2）
C．
D．f（x）=2^|x|

二、填空题

9. 难度：中等

已知集合A={x||x-1|＞2}，B={x|x（x-5）＜0}，则A∩B=    ．

10. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为    m²．

11. 难度：中等

如图，△ABC内接于圆O，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB=10，BC=6，AC=9，则切线DC的长为    ．

12. 难度：中等

若在圆x²+y²=1上，则直线ax+by+c=0与圆x²+y²=2相交所得弦的长为    ．

13. 难度：中等

抛物线y²=2px（p＞0）上一点M（1，m） （m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A．若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于    ．

14. 难度：中等

已知函数（其中e为自然对数的底数，且e≈2.718）若f（6-a²）＞f（a），则实数a的取值范围是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，．
（I）求的值；
（Ⅱ）求sinB的值．

16. 难度：中等

某中学一、二、三年级分别有普法志愿者36人、72人、54人，用分层抽样的方法从这三个年级抽取一个样本，已知样本中三年级志愿者有3人．
（I）分别求出样本中一、二年级志愿者的人数；
（Ⅱ）用A_i（i=1，2…）表示样本中一年级的志愿者，a_i（i=1，2，…）表示样本中二年级的志愿者，现从样本中一、二年级的所有志愿者中随机抽取2人，①用以上志愿者的表示方法，用列举法列出上述所有可能情况，②抽取的二人在同一年级的概率．

17. 难度：中等

如图，四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，E、F分别是SC、SD的中点，SA=AD=2，
（I）求证：EF∥平面SAB；
（Ⅱ）求证．SD⊥平面AEF；
（Ⅲ）求直线BF与平面SAD所成角的大小．

18. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中a₁=1，公差d＞0，前n项和为S_n，且S₁，S₃-S₂，S₅-S₃成等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n及S_n；
（Ⅱ）设，证明：b₁+b₂+…+b_n＜2．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+x²-ax，其中a，x∈R．
（ I）当a=1时，求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（1，2）上不是单调函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若x∈[0，3]时，函数f（x）在x=0处取得最小值，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍，且过点C（2，1），点C关于原点O的对称点为点D．
（I）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）点P在椭圆E上，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由：
（Ⅲ）平行于CD的直线l交椭圆E于M，N两点，求△CMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．