《圆锥曲线》2012-2013学年广东省十三大市高三（上）期末数学试卷汇编（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若抛物线y²=2px的焦点与双曲线x²-y²=2的右焦点重合，则p的值为（ ）
A．-2
B．2
C．-4
D．4

二、填空题

2. 难度：中等

已知抛物线x²=4y上一点P到焦点F的距离是5，则点P的横坐标是    ．

3. 难度：中等

圆x²+y²+2x+4y-15=0上到直线x-2y=0的距离为的点的个数是    ．

三、选择题

4. 难度：中等

在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

四、填空题

5. 难度：中等

已知双曲线-=1的一个焦点与抛线线y²=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为    ．

五、选择题

6. 难度：中等

以抛物线y²+8x=0的顶点为中心、焦点为一个顶点且离心率e=2的双曲线的标准方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

六、填空题

7. 难度：中等

已知双曲线x²-ky²=1的一个焦点是，则其渐近线方程为    ．

8. 难度：中等

已知点A是抛物线C₁：y²=2px（p＞0）与双曲线C₂：的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C₁的准线的距离为p，则双曲线的离心率等于    ．

9. 难度：中等

圆心在直线x-2y+7=0上的圆C与x轴交于两点A（-2，0）、B（-4，0），则圆C的方程为    ．

七、选择题

10. 难度：中等

直线x+（a²+1）y+1=0（a∈R）的倾斜角的取值范围是（ ）
A．[0，]
B．[，π）
C．[0，]∪（，π）
D．[，）∪[，π）

八、填空题

11. 难度：中等

已知F₁，F₂是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F₁的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|：|BF₂|：|AF₂|=3：4：5，则双曲线的离心率为    ．

12. 难度：中等

与圆C：x²+y²-2x+4y=0关于直线l：x+y=0对称的圆的方程是    ．

九、解答题

13. 难度：中等

已知点M（4，0）、N（1，0），若动点P满足．
（1）求动点P的轨迹C；
（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：x+2y-12=0的距离最小．

14. 难度：中等

设椭圆的左右顶点分别为A（-2，0），B（2，0），离心率e=．过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且|QP|=|PC|．
（1）求椭圆的方程；
（2）求动点C的轨迹E的方程；
（3）设直线AC（C点不同于A，B）与直线x=2交于点R，D为线段RB的中点，试判断直线CD与曲线E的位置关系，并证明你的结论．

15. 难度：中等

如图，已知抛物线P：y²=x，直线AB与抛物线P交于A，B两点，OA⊥OB，，OC与AB交于点M．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）求四边形AOBC的面积的最小值．

16. 难度：中等

设椭圆的右焦点为F₁，直线与x轴交于点A，若（其中O为坐标原点）．
（1）求椭圆M的方程；
（2）设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x²+（y-2）²=1的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求的最大值．

17. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，F₁（-4，0），F₂（4，0），P是平面上一点，使三角形PF₁F₂的周长为18．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）在P点的轨迹上是否存在点P₁、P₂，使得顺次连接点F₁、P₁、F₂、P₂所得到的四边形F₁P₁F₂P₂是矩形？若存在，请求出点P₁、P₂的坐标；若不存在，请简要说明理由．

18. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直l₁于点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；
（3）设O为坐标原点，取C₂上不同于O的点S，以OS为直径作圆与C₂相交另外一点R，求该圆面积的最小值时点S的坐标．

19. 难度：中等

已知点p是圆（x+1）²+y²=16上的动点，圆心为B．A（1，0）是圆内的定点；PA的中垂线交BP于点Q．
（1）求点Q的轨迹C的方程；
（2）若直线l交轨迹C于M，N（MN与x轴、y轴都不平行）两点，G为MN的中点，求K_MN•K_OG的值（O为坐标系原点）．

20. 难度：中等

如图，已知点M（x，y）是椭圆C：=1上的动点，以M为切点的切线l与直线y=2相交于点P．
（1）过点M且l与垂直的直线为l₁，求l₁与y轴交点纵坐标的取值范围；
（2）在y轴上是否存在定点T，使得以PM为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由．
（参考定理：若点Q（x₁，y₁）在椭圆，则以Q为切点的椭圆的切线方程是：．

21. 难度：中等

已知两圆C₁：x²+y²-2x=0，C₂：（x+1）²+y²=4的圆心分别为C₁，C₂，P为一个动点，且|PC₁|+|PC₂|=2．
（1）求动点P的轨迹M的方程；
（2）是否存在过点A（2，0）的直线l与轨迹M交于不同的两点C、D，使得|C₁C|=|C₁D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

已知椭圆c：=1（a＞b＞0），左、右两个焦点分别为F₁、F₂，上顶点A（0，b），△AF₁F₂是正三角形且周长为6．
（1）求椭圆C的标准方程及离心率；
（2）O为坐标原点，P是直线F₁A上的一个动点，求的最小值，并求出此时点P的坐标．