2013年山东省烟台市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i是虚数单位，若z（i+1）=i，则|z|等于（ ）
A．1
B．
C．
D．

2. 难度：中等

若集合M={x∈N^*|x＜6}，N={x||x-1|≤2}，则M∩C_RN=（ ）
A．（-∞，-1）
B．[1，3）
C．（3，6）
D．{4，5}

3. 难度：中等

已知幂函数y=f（x）的图象过点，则log₂f（2）的值为（ ）
A．
B．-
C．2
D．-2

4. 难度：中等

已知函数f（x）=，若，则θ的值为（ ）
A．（其中k∈Z）
B．（其中k∈Z）
C．（其中k∈Z）
D．（其中k∈Z）

5. 难度：中等

下列说法错误的是（ ）
A．命题“若x²-4x+3=0，则x=3”的逆否命题是：“若x≠3，则x²-4x+3≠0”
B．“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件
C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题
D．命题p：“∃x∈R使得x²+x+1＜0”，则¬p：“∀x∈R，均有x²+x+1≥0”

6. 难度：中等

若函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在区间上单调递增，则ω的最大值等于（ ）
A．
B．
C．2
D．3

7. 难度：中等

已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

如图，某几何体的三视图均为边长为l的正方形，则该几何体的体积是（ ）

A．
B．
C．1
D．

9. 难度：中等

若点P是以、为焦点，实轴长为的双曲线与圆x²+y²=10的一个交点，则|PA|+|PB|的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

函数f（x）=-（cosx）1g|x|的部分图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

实数x，y满足若目标函数z=x+y取得最大值4，则实数a的值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）-x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为（ ）
A．
B．a_n=n-1
C．a_n=n（n-1）
D．

二、填空题

13. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的S值为    ．

14. 难度：中等

若（x²-的展弄式中含x的项为第6项，设（1-3x）ⁿ=a+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，则a_l+a₂+…+a_n的值为    ．

15. 难度：中等

对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：…．仿此，若m³的“分裂数”中有一个是59，则m的值为    ．

16. 难度：中等

给出下列命题：
①函数y=在区间[1，3]上是增函数；
②函数f（x）=2^x-x²的零点有3个；
③函数y=sin x（x∈[-π，π]）图象与x轴围成的图形的面积是S=；
④若ξ～N（1，σ²），且P（0≤ξ≤1）=0.3，则P（ξ≥2）=0.2．
其中真命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上）：    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知平面向量，，，其中0＜φ＜π，且函数的图象过点．
（1）求φ的值；
（2）先将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，然后将得到函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在[0，]上的最大值和最小值．

18. 难度：中等

已知公差大于零的等差数列{a_n}的前n项和S_n，且满足：a₂•a₄=65，a₁+a₅=18．
（1）若1＜i＜21，a₁，a_i，a₂₁是某等比数列的连续三项，求i的值；
（2）设，是否存在一个最小的常数m使得b₁+b₂+…+b_n＜m对于任意的正整数n均成立，若存在，求出常数m；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．
（I）求证：BC⊥平面ACFE；
（Ⅱ）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．

20. 难度：中等

从参加某次高三数学摸底考试的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制）（均为整数）分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题．
（1）补全这个频率分布直方图，并估计本次考试的平均分；
（2）若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40，70）记0分，在[70，100]记1分，用X表示抽取结束后的总记分，求x的分布列和数学期望．

21. 难度：中等

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆上的两点，已知向量=（，），=（，），若=0且椭圆的离心率e=，短轴长为2，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=axlnx图象上点（e，f（e））处的切线方程与直线y=2x平行（其中e=2.71828…），g（x）=x²-tx-2．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）求函数f（x）在[n，n+2]（n＞0）上的最小值；
（III）对一切x∈（0，e]，3f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围．