2012年上海市长宁区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知向量=（2，m），若向量，若与垂直，则m等于    ．

2. 难度：中等

已知=    ．

3. 难度：中等

不等式≤1的解集为    ．

4. 难度：中等

函数y=f（x）的反函数为y=log₂（x+1）+1，则f（x）=    ．

5. 难度：中等

设复数2+i是实系数一元二次方程x²+px+q=0的一个虚数根，则pq=    ．

6. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a₁=2，公差不为零，且a₁，a₃，a₁₁恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于    ．

7. 难度：中等

设定义域为R的函数则函数f（x）的零点为    ．

8. 难度：中等

已知实数x，y满足约束条件则的最大值等于    ．

9. 难度：中等

二项式的展开式中x³的系数为10，则实数m等于    ．

10. 难度：中等

在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设S_n为前n个圆的面积之和，则s_n=    ．

11. 难度：中等

已知偶函数f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[0，1]时，f（x）=x，则方程f（x）=根的个数是    ．

12. 难度：中等

从集合A={-1，1，2}中随机选取一个数记为k，从集合B={-2，1，2}中随机选取一个数记为b，则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为    ．

13. 难度：中等

已知直线l₁：4x-3y+6=0和直线l₂：x=0，抛物线y²=4x上一动点P到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值是    ．

14. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=3．PB=2，PC=1．设M是底面ABC内一点，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是三棱锥M-PAB、三棱锥M-PBC、三棱锥M-PCA的体积．若f（M）=（，x，y），且≥8恒成立，则正实数a的最小值为    ．

二、选择题

15. 难度：中等

设x∈R，则“|x-1|＞1”是“x＞3”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

16. 难度：中等

如图给出的是计算的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）
A．i＞10
B．i＜10
C．i＞9
D．i＜9

17. 难度：中等

在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．

18. 难度：中等

已知有相同两焦点F₁、F₂的椭圆和双曲线，P是它们的一个交点，则△F₁PF₂的形状是（ ）
A．锐角三角形
B．B直角三角形
C．钝有三角形
D．等腰三角形

三、解答题

19. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b²+c²=a²-bc，，求△ABC的面积．

20. 难度：中等

棱锥的底面是正三角形，边长为1，棱锥的一条侧棱与底面垂直，其余两条侧棱与底面所成角都等于，设D为BC中点．
（1）求这个棱锥的侧面积和体积；
（2）求异面直线PD与AB所成角的大小．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S_n为其前n项和，且满足，n∈N^*．数列{b_n}满足，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）求a₁、d和T_n；
（2）是否存在实数λ，使对任意的n∈N^*，不等式λT_n＜n+8恒成立？若存在，请求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

定义：对函数y=f（x），对给定的正整数k，若在其定义域内存在实数x，使得f（x+k）=f（x）+f（k），则称函数f（x）为“k性质函数”．
（1）若函数f（x）=2^x为“1性质函数”，求x；
（2）判断函数是否为“k性质函数”？说明理由；
（3）若函数为“2性质函数”，求实数a的取值范围．

23. 难度：中等

设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于P₁，P₂两点，已知|P₁P₂|=8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点M（3，0）作方向向量为的直线与曲线C相交于A，B两点，求△FAB的面积S（a）并求其值域；
（3）设m＞0，过点M（m，0）作直线与曲线C相交于A，B两点，问是否存在实数m使∠AFB为钝角？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．