2012年北京市海淀区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

函数y=-x²+1，-1≤x＜2的值域是（ ）
A．（-3，0]
B．（-3，1]
C．[0，1]
D．[1，5）

2. 难度：中等

已知命题p：．则¬p为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

cos²15°-sin²15°的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输入x的值为10，则输出的x值为（ ）

A．4
B．2
C．1
D．0

5. 难度：中等

已知平面α，β和直线m，且m⊂α，则“α∥β”是“m∥β”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

为了得到函数的图象，可将函数y=log₂x的图象上所有的点的（ ）
A．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度
B．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度

7. 难度：中等

某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）
A．
B．
C．6
D．4

8. 难度：中等

点P（x，y）是曲线C：y=（x＞0）上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点O是坐标原点．给出三个命题：
①|PA|=|PB|；
②△OAB的周长有最小值4+2；
③曲线C上存在两点M，N，使得△OMN为等腰直角三角形．
其中真命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

二、填空题

9. 难度：中等

复数，则|z|=    ．

10. 难度：中等

已知双曲线的渐近线方程是y=±2x，那么此双曲线的离心率为    ．

11. 难度：中等

在△ABC中，若∠A=120°，c=6，△ABC的面积为，则a=    ．

12. 难度：中等

在面积为1的正方形ABCD内部随机取一点P，则△PAB的面积大于等于的概率是    ．

13. 难度：中等

某同学为研究函数0＜x＜1）的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则AP+PF=f（x）．请你参考这些信息，推知函数的极值点是    ，函数的值域是    ．

14. 难度：中等

已知定点M（0，2），N（-2，0），直线l：kx-y-2k+2=0（k为常数）．若点M，N到直线l的距离相等，则实数k的值是    ；对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，则实数k的取值范围是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差d≠0，S₅=4a₃+6a，且a₁，a₃，a₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和公式．

16. 难度：中等

在一次“知识竞赛”活动中，有A₁，A₂，B，C四道题，其中A₁，A₂为难度相同的容易题，B为中档题，C为较难题．现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答．
（Ⅰ）求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率；
（Ⅱ）求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率．

17. 难度：中等

在正方体ABCD-A'B'C'D'中，棱AB，BB'，B'C'，C'D'的中点分别是E，F，G，H，如图所示．
（Ⅰ）求证：AD'∥平面EFG；
（Ⅱ）求证：A'C⊥平面EFG；
（Ⅲ）判断点A，D'，H，F是否共面？并说明理由．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=（a≠0，a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=1时，若对任意x₁，x₂∈[-3，+∞），有f（x₁）-f（x₂）≤m成立，求实数m的最小值．

19. 难度：中等

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），且点（-1，）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知点Q（，0），动直线l过点F，且直线l与椭圆C交于A，B两点，证明：为定值．

20. 难度：中等

将一个正整数n表示为a₁+a₂+…+a_p（p∈N^*）的形式，其中a_i∈N^*，i=1，2，…，p，且a₁≤a₂≤…≤a_p，记所有这样的表示法的种数为f（n）（如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故f（4）=5）．
（Ⅰ）写出f（3），f（5）的值，并说明理由；
（Ⅱ）证明：f（n+1）-f（n）≥1（n=1，2，…）；
（Ⅲ）对任意正整数n，比较f（n+1）与的大小，并给出证明．