2013年湖南省永州市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

“x≠3”是“|x-3|＞0”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件

2. 难度：中等

如图是某几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半圆，则该几何体的体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

cos2xdx=（ ）
A．
B．1
C．2
D．

4. 难度：中等

甲、乙两人在淘宝网各开一家网店，直销同一厂家的同一种产品，厂家为考察两人的销售业绩，随机选了10天，统计两店销售量，得到如图所示的茎叶图，由图中数据可知（ ）

A．甲网店的极差大于乙网店的极差
B．甲网店的中位数是46
C．乙网店的众数是42
D．甲网店的销售业绩好

5. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₉=-18，S₁₃=-52，等比数列{b_n}中，b₅=a₅，b₇=a₇，则b₆的值（ ）
A．
B．2
C．或
D．2或-2

6. 难度：中等

若，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

设函数f（x）=，g（x）=ax²+bx（a，b∈R，a≠0）若y=f（x）的图象与y=g（x）图象有且仅有两个不同的公共点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则下列判断正确的是（ ）
A．当a＜0时，x₁+x₂＜0，y₁+y₂＞0
B．当a＜0时，x₁+x₂＞0，y₁+y₂＜0
C．当a＞0时，x₁+x₂＜0，y₁+y₂＜0
D．当a＞0时，x₁+x₂＞0，y₁+y₂＞0

二、填空题

8. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，∠C=，则∠AED=    ．

9. 难度：中等

已知x，y，z∈R，且x²+y²+z²=1，则x+2y+3z的最大值是    ．

10. 难度：中等

已知在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（α为参数），与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，则圆C截直线l所得的弦长为    ．

11. 难度：中等

二男二女共四个学生站成一排照相，两个女生必须相邻的站法有    种．（用数字作答）

12. 难度：中等

已知A，B是圆C（为圆心）上的两点，||=2，则•=    ．

13. 难度：中等

双曲线C：的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是C右支上一动点，点Q的坐标是（1，4），则|PF₁|+|PQ|的最小值为    ．

14. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，则输出的复数z是    ．

15. 难度：中等

电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下面至多埋一个雷，如果无雷掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块（至多八个）中雷的个数（0常省略不标），如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中有且仅有3个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有4个方块已确定是雷（方块上标有旗子），则上方左起八个方块中（方块正上方对应标有字母），能够确定一定不是雷的有    ，一定是雷的有    ．（请填入方块上方对应字母）

三、解答题

16. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3，b=4，．
（1）求△ABC的面积；
（2）求sin（B-C）的值．

17. 难度：中等

永州市举办科技创新大赛，某县有20件科技创新作品参赛，大赛组委会对这20件作品分别从“创新性”和“实用性”两个方面进行评分，每个方面评分均按等级采用3分制（最低1分，最高3分），若设“创新性”得分为x，“实用性”得分为y，得到统计结果如下表，若从这20件产品中随机抽取1件．

创  新  性
1分	2分	3分
1分	2		2
2分	1	4	1
3分	2	2	6

（1）求事件A：“x≥2且y≤2”的概率；
（2）设ξ为抽中作品的两项得分之和，求ξ的数学期望．

18. 难度：中等

如图所示，直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AD=2，AB=3，CD=4，P在线段AB上，BP=1，O在CD上，且OP∥AD，将图甲沿OP折叠使得平面OCBP⊥底面ADOP，得到一个多面体（如图乙），M、N分别是AC、OP的中点．
（1）求证：MN⊥平面ACD；
（2）求平面ABC与底面OPAD所成角（锐角）的余弦值．

19. 难度：中等

提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为30千米/小时．研究表明：当50＜x≤200时，车流速度v与车流密度x满足．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．
（Ⅰ）当0＜x≤200时，求函数v（x）的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到个位，参考数据）

20. 难度：中等

在直角坐标系xoy中，椭圆C₁：的离心率，F是抛物线C₂：y²=4x的焦点，C₁与C₂交于M，N两点（M在第一象限），且|MF|=2．
（1）求点M的坐标及椭圆C₁的方程；
（2）若过点N且斜率为k的直线l交C₁于另一点P，交C₂于另一点Q，且MP⊥MQ，求k的值．

21. 难度：中等

已知函数．
（1）若函数f（x）在定义域内为减函数，求实数p的取值范围；
（2）如果数列{a_n}满足a₁=3，，试证明：当n≥2时，．

四、选择题

22. 难度：中等

设集合A={x|-1＜x＜2}，B={x|x²≤1}，则A∩B=（ ）
A．（-1，1]
B．（-1，1）
C．[-1，2）
D．（-1，2）