2012年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列命题中，真命题是（ ）
A．∀x∈R，-x²-1＜0
B．∃x∈R，x
C．∀x∈R，x²-x+
D．∃x∈R，x

2. 难度：中等

将容量为n的样本中的数据分成6组，若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n的值为（ ）
A．70
B．60
C．50
D．40

3. 难度：中等

（理）的展开式中的常数项为（ ）
A．-24
B．-6
C．6
D．24

4. 难度：中等

若一个三棱柱的底面是正三角形，其正（主）视图如图所示，则它的体积为（ ）

A．
B．2
C．2
D．4

5. 难度：中等

若向量，满足||=1，||=，且⊥，则与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β 的是（ ）
A．α⊥β，且m⊂α
B．m∥n，且n⊥β
C．α⊥β，且m∥α
D．m⊥n，且n∥β

7. 难度：中等

若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x²+的离心率为（ ）
A．
B．
C．或
D．或

8. 难度：中等

定义：F（x，y）=y^x（x＞0，y＞0），已知数列{a_n}满足：A_n=（n∈N⁺），若对任意正整数n，都有a_n≥a_k（k∈N⁺）成立，则a_k的值为（ ）
A．
B．2
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

设a∈R，且（a+i）²i为正实数，则a=    ．

10. 难度：中等

若圆C的参数方程为（θ为参数），则圆C的圆心坐标为    ，圆C与直线x+y-3=0的交点个数为    ．

11. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，将点绕原点O逆时针旋转90°到点B，那么点B坐标为    ，若直线OB的倾斜角为α，则tan2α=    ．

12. 难度：中等

如图，直线PC与圆O相切于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC=4，PB=8，则CE=    ．

13. 难度：中等

已知函数（x∈R）的最大值为M，最小值为m，则M+m=    ．

14. 难度：中等

已知点A（a，b）与点B（1，0）在直线3x-4y+10=0的两侧，给出下列说法：
①3a-4b+10＞0；
②当a＞0时，a+b有最小值，无最大值；
③＞2；
④当a＞0且a≠1，b＞0时，的取值范围为（-∞，-）∪（，+∞）．
其中，所有正确说法的序号是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中x∈R，A＞0，ω＞0，-＜φ＜）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知在函数f（x）的图象上的三点M，N，P的横坐标分别为-1，1，5，求sin∠MNP的值．

16. 难度：中等

某公园设有自行车租车点，租车的收费标准是每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）．甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为，；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过三小时．
（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望Eξ．

17. 难度：中等

如图，矩形AMND所在的平面与直角梯形MBCN所在的平面互相垂直，MB∥NC，MN⊥MB，且MC⊥CB，BC=2，MB=4，DN=3．
（Ⅰ）求证：AB∥平面DNC；
（Ⅱ）求二面角D-BC-N的余弦值．

18. 难度：中等

已知抛物线C：x²=4y，M为直线l：y=-1上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．
（Ⅰ）当M的坐标为（0，-1）时，求过M，A，B三点的圆的方程；
（Ⅱ）证明：以AB为直径的圆恒过点M．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=（a+）lnx+-x（a＞1）．
（l）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；
（2）当a∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f （x₂ ）），使得曲线y=f（x）在点P，Q处的切线互相平行，求证：x₁+x₂＞．

20. 难度：中等

对于数列{a_n} （n=1，2，…，m），令b_k为a₁，a₂，…，a_k中的最大值，称数列{b_n}为{a_n}的“创新数列”．例如数列2，1，3，7，5的创新数列为2，2，3，7，7．定义数列{C_n}：c₁，c₂，c₃，…，c_m是自然数1，2，3，…，m（m＞3）的一个排列．
（Ⅰ）当m=5时，写出创新数列为3，4，4，5，5的所有数列{C_n}；
（Ⅱ）是否存在数列{C_n}，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列{C_n}，若不存在，请说明理由．