2012年北京市怀柔区高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={-l，0，1，2}，集合A={-l，2}，则∁_UA=（ ）
A．{0，1}
B．{2}
C．{0，l，2}
D．∅

2. 难度：中等

已知i为虚数单位，=2，则复数z=（ ）
A．1-i
B．1+i
C．2i
D．-2i

3. 难度：中等

“a=3”是“直线ax+3y=0和2x+2y=3平行的”（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（ ）

A．
B．1
C．
D．2

5. 难度：中等

函数y=（sinx+cosx）²-1是（ ）
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数

6. 难度：中等

如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则=（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

设x＞1，S=min{log_x2，log₂（4x³）}，则S的最大值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

8. 难度：中等

若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x）且x∈[-1，1]时，f（x）=1-x²，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-5，5]内的与x轴交点的个数为（ ）
A．5
B．7
C．8
D．10

二、填空题

9. 难度：中等

函数的定义域是    ．

10. 难度：中等

如图给出的是计算1+++…+的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是    ．

11. 难度：中等

如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1．在三角形内挖去半圆（圆心O在边AC上，半圆与BC、AB相切于点C、M，与AC交于N，见图中非阴影部分），则该半圆的半径长为    ．

12. 难度：中等

当x∈（1，2）时，不等式（x-1）²＜log_ax恒成立，则实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知不等式组表示的平面区域为M若直线y=kx-3k+1与平面区域M有公共点，则k的取值范围是    ．

14. 难度：中等

手表的表面在一平面上，整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为的圆周上，从整点i到整点（i+1）的向量记作，则=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求的值．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点．
（1）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；
（2）求证：平面BED⊥平面SAC．

17. 难度：中等

对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：

分组	频数	频率
[10，15）	10	0.25
[15，20）	24	n
[20，25）	m	p
[25，30）	2	0.05
合计	M	1

（Ⅰ）求出表中M，p及图中a的值；
（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数；
（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25，30）内的概率．

18. 难度：中等

设a∈R，函数f（x）=ax³-3x²．
（1）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求实数a的值；
（2）若函数g（x）=e^xf（x）在[0，2]上是单调减函数，求实数a的取值范围．

19. 难度：中等

已知椭圆C的两焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），并且经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知圆O：x²+y²=1，直线l：mx+ny=1，证明当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围．

20. 难度：中等

对于给定数列{c_n}，如果存在实常数p，q使得c_n+1=pc_n+q对于任意n∈N^*都成立，我们称数列{c_n}是“T数列”．
（Ⅰ）若a_n=2n，b_n=3•2ⁿ，n∈N^*，数列{a_n}、{b_n}是否为“T数列”？若是，指出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由；
（Ⅱ）证明：若数列{a_n}是“T数列”，则数列{a_n+a_n+1}也是“T数列”；
（Ⅲ）若数列{a_n}满足a₁=2，a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），t为常数．求数列{a_n}前2013项的和．