2013年湖南省怀化市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

tan3的值为（ ）
A．大于0
B．小于0
C．等于0
D．不存在

2. 难度：中等

已知集合N={x|x²+6x-q=0}，M={x|x²-px+6=0}，若M∩N={2}，则p+q的值为（ ）
A．21
B．8
C．7
D．6

3. 难度：中等

一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为，则正视图中x的值为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2

4. 难度：中等

实数a的值由如图程序框图算出，则二项式展开式的常数项为（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

若数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_na_n-2=a_n-1（n≥3），则a₂₀₁₃的值为（ ）
A．2
B．
C．1
D．2²⁰¹³

6. 难度：中等

在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f（x）的图象恰好通过k（k∈N^*）个格点，则称函数f（x）为k阶格点函数．给出下列4个函数：①；②；③f（x）=-log₂x；④f（x）=2π（x-3）²+5．其中是一阶格点函数的是（ ）
A．①③
B．②③
C．③④
D．①④

7. 难度：中等

将一枚骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a，第二次朝上一面的点数为b，则函数y=ax²-2bx+1在（-∞，]上为减函数的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

如图展示了一个由区间（0，k）（其中k为一正实数）到实数集R上的映射过程：区间（0，k）中的实数m对应线段AB上的点M，如图1；将线段AB围成一个离心率为的椭圆，使两端点A、B恰好重合于椭圆的一个短轴端点，如图2；再将这个椭圆放在平面直角坐标系中，使其中心在坐标原点，长轴在x轴上，已知此时点A的坐标为（0，1），如图3，在图形变化过程中，图1中线段AM的长度对应于图3中的椭圆弧ADM的长度．图3中直线AM与直线y=-2交于点N（n，-2），则与实数m对应的实数就是n，记作f（m）=n，

现给出下列5个命题①；②函数f（m）是奇函数；③函数f（m）在（0，k）上单调递增；④函数f（m）的图象关于点对称；⑤函数时AM过椭圆的右焦点．其中所有的真命题是（ ）
A．①③⑤
B．②③④
C．②③⑤
D．③④⑤

二、填空题

9. 难度：中等

以极坐标系中的点为圆心，1为半径的圆的极坐标方程是     ．

10. 难度：中等

函数的最大值是    ．

11. 难度：中等

已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为2，AB=3，则切线AD的长为    ．

12. 难度：中等

如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程，y=-x+5，则f（3）-f′（3）=    ．

13. 难度：中等

已知，求=    ．

14. 难度：中等

若不等式组所确定的平面区域的面积为0，则实数a的取值范围为    ．

15. 难度：中等

定义在R上的函数f（x），g（x）满足f（x）=-f（-x），g（x）=g（x+2），若f（-1）=g（1）=3且g（2nf（1））=nf（f（1）+g（-1））+2（n∈N），则g（-6）+f（0）=    ．

16. 难度：中等

用n个不同的实数a₁，a₂，…，a_n可以得到n!个不同的排列，每个排列为一行，写出一个n!行的数阵，对第i行a_i1，a_i2，…，a_in，记，i=1，2，3，4，…，n!．
例如：用1，2，3，可得数阵如图所示，则b₁+b₂+…+b₆=    ；
那么在用1，2，3，4，5形成的数阵中，b₁+b₂+…+b_5!=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数
（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（2）设△ABC的内角A、B、C、的对边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，若向量与向量共线，求a，b．

18. 难度：中等

某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩共分五组，得到频率分布表如下表所示．

组号	分组	频数	频率
第一组	[160，165）	5	0.05
第二组	[165，170）	35	0.35
第三组	[170，175）	30	a
第四组	[175，180）	b	0.2
第五组	[180，185）	10	0.1

（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）为了能选出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12人进入第二轮面试，求第3、4、5组中每组各抽取多少人进入第二轮的面试；考生李翔的笔试成绩为178分，但不幸没入选这100人中，那这样的筛选方法对该生而言公平吗？为什么？
（Ⅲ）在（2）的前提下，学校决定在12人中随机抽取3人接受“王教授”的面试，设第4组中被抽取参加“王教授”面试的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=．
（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的余弦；
（Ⅲ）求点E到平面ACD的距离．

20. 难度：中等

长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R的圆面．该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界AB=AD=4万米，BC=6万米，CD=2万米．
（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值；
（2）因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P；使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．

21. 难度：中等

在直角坐标平面内，y轴右侧的一动点P到点（，0）的距离比它到y轴的距离大．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设Q为曲线C上的一个动点，点B，C在y轴上，若△QBC为圆（x-1）²+y²=1的外切三角形，求△QBC面积的最小值．

22. 难度：中等

已知函数．
（1）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为0，且，已知a₁=4，求证：a_n≥2n+2；
（3）在（2）的条件下，试比较与的大小，并说明你的理由．