2012年上海市卢湾区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

不等式|x-2|≤1的解集是    ．

2. 难度：中等

函数y=2^x-1的反函数为    ．

3. 难度：中等

方程sin²x-2sinx=0的解集为    ．

4. 难度：中等

若实数对（x，y）满足x²+y²=4，则xy的最大值为    ．

5. 难度：中等

若关于x，y的线性方程组的增广矩阵为，方程组的解为则mn的值为    ．

6. 难度：中等

在极坐标系中，点A的极坐标为（2，0），直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）+2=0，则点A到直线l的距离为    ．

7. 难度：中等

某算法的流程图如图所示，则该算法输出的n值是    ．
 

8. 难度：中等

已知（n∈N^*）的展开式中含有常数项，则n的最小值是    ．

9. 难度：中等

已知，，，且，则sinβ=    ．

10. 难度：中等

一长方形的四个顶点在直角坐标平面内的射影的坐标分别为（-1，2），（3，3），（-3，5），（1，6），则此长方形的中心在此坐标平面内的射影的坐标是    ．

11. 难度：中等

某船在A处看灯塔S在北偏东30°方向，它以每小时30海里的速度向正北方向航行，经过40分钟航行到B处，看灯塔S在北偏东75°方向，则此时该船到灯塔S的距离约为    海里（精确到0.01海里）．

12. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0），过定点（p，0）作两条互相垂直的直线l₁，l₂，l₁与抛物线交于P，Q两点，l₂与抛物线交于M，N两点，设l₁的斜率为k．若某同学已正确求得弦PQ的中垂线在y轴上的截距为，则弦MN的中垂线在y轴上的截距为    ．

二、解答题

13. 难度：中等

已知向量的夹角为，，若点M在直线OB上，则||的最小值为______

14. 难度：中等

已知集合A={}，当m为4022时，集合A 的元素个数为______．

三、选择题

15. 难度：中等

“φ=π”是“函数f（x）=sin（x+φ）是奇函数”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件

16. 难度：中等

已知数列{a_n}是无穷等比数列，其前n项和是S_n，若a₂+a₃=2，a₃+a₄=1，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

17. 难度：中等

已知复数z满足（i是虚数单位），若在复平面内复数z对应的点为Z，则点Z的轨迹为（ ）
A．双曲线的一支
B．双曲线
C．一条射线
D．两条射线

18. 难度：中等

已知，，若函数f（x）有唯一零点x₁，函数g（x）有唯一零点x₂，则有（ ）
A．x₁∈（0，1），x₂∈（1，2）
B．x₁∈（-1，0），x₂∈（1，2）
C．x₁∈（0，1），x₂∈（0，1）
D．x₁∈（-1，0），x₂∈（0，1）

四、解答题

19. 难度：中等

已知矩形ABCD内接于圆柱下底面的圆O，PA是圆柱的母线，若AB=6，AD=8，此圆柱的体积为300π，求异面直线AC与PB所成角的余弦值．

20. 难度：中等

某校10名学生组成该校“科技创新周”志愿服务队（简称“科服队”），他们参加活动的有关数据统计如下：

参加活动次数	1	2	3
人 数	2	3	5

（1）从“科服队”中任选3人，求这3人参加活动次数各不相同的概率；
（2）从“科服队”中任选2人，用ξ表示这2人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．

21. 难度：中等

已知椭圆E：（a＞b＞0）过点P（3，1），其左、右焦点分别为F₁，F₂，且．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若M，N是直线x=5上的两个动点，且F₁M⊥F₂N，则以MN为直径的圆C是否过定点？请说明理由．

22. 难度：中等

已知数列a，b，c是各项均为正数的等差数列，公差为d（d＞0）．在a，b之间和b，c之间共插入n个实数，使得这n+3个数构成等比数列，其公比为q．
（1）求证：|q|＞1；
（2）若a=1，n=1，求d的值；
（3）若插入的n个数中，有s个位于a，b之间，t个位于b，c之间，且s，t都为奇数，试比较s与t的大小，并求插入的n个数的乘积（用a，c，n表示）．

23. 难度：中等

对于定义域为D的函数y=f（x），若有常数M，使得对任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D满足等式，则称M为函数y=f （x）的“均值”．
（1）判断1是否为函数f（x）=2x+1（-1≤x≤1）的“均值”，请说明理由；
（2）若函数f（x）=ax²-2x（1＜x＜2，a为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）是单调函数，且其值域为区间I．试探究函数f（x）的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不必证明）．