《推理与证明》2013年高三数学一轮复习单元训练（北京邮电大学附中）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

用反证法证明命题“若a²+b²=0，则a、b全为0（a、b∈R）”，其反设正确的是（ ）
A．a、b至少有一个不为0
B．a、b至少有一个为0
C．a、b全不为0
D．a、b中只有一个为0

2. 难度：中等

观察式子：1+，1+，…，则可归纳出式子为（ ）
A．（n≥2）
B．1+（n≥2）
C．1+（n≥2）
D．1+（n≥2）

3. 难度：中等

右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（ ）

A．2
B．4
C．6
D．8

4. 难度：中等

“π是无限不循环小数，所以π是无理数”，以上推理的大前提是（ ）
A．实数分为有理数和无理数
B．π不是有理数
C．无理数都是无限不循环小数
D．有理数都是有限循环小数

5. 难度：中等

将正偶数集合{2，4，6，…}从小到大按第n组有2n个偶数进行分组：{2，4}，{6，8，10，12}，{14，16，18，20，22，24}，…则2120位于第（ ）组．
A．33
B．32
C．31
D．30

6. 难度：中等

用反证法证明命题“如果a＞b＞0，那么a²＞b²”时，假设的内容应是（ ）
A．a²=b²
B．a²＜b²
C．a²≤b²
D．a²＜b²，且a²=b²

7. 难度：中等

设函数f是定义在正整数有序对集合上的函数，并满足：①f（x，x）=x，②f（x，y）=f（y．x）③（x+y）f（x，y）=yf（x，x+y），则f（12，16）+f（16，12）的值是（ ）
A．96
B．64
C．48
D．24

8. 难度：中等

设x，y，z∈（0，+∞），a=x+，b=y+，c=z+，则a，b，c三数（ ）
A．至少有一个不大于2
B．都小于2
C．至少有一个不小于2
D．都大于2

9. 难度：中等

用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的假设为（ ）
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数

10. 难度：中等

用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ）
A．假设三内角都不大于60度
B．假设三内角都大于60度
C．假设三内角至多有一个大于60度
D．假设三内角至多有两个大于60度

11. 难度：中等

设a，b，c都是正数，那么三个数a+，b+，c+（ ）
A．都不大于2
B．都不小于2
C．至少有一个不大于2
D．至少有一个不小于2

二、填空题

12. 难度：中等

若正数a，b，c满足a+b+4c=1，则++的最大值为    ．

13. 难度：中等

若n是正整数，定义n!=n×（n-1）×（n-2）×…3×2×1，如3!=3×2×1=6，设m=1!+2!+3!+4!+…+2011!+2012!，则m这个数的个位数字为    ．

14. 难度：中等

如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；依此类推，则第63行从左至右的第5个数应是    ．

15. 难度：中等

一个数列{1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，…}，它的首项是1，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4，…，依此类推，若a_n-1=20，a_n=21，则n=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

求证：．

17. 难度：中等

有一种密英文的明文（真实文）按字母分解，其中英文的a，b，c，…，z的26个字母（不分大小写），依次对应1，2，3，…，26这26个自然数，见如下表格：

a	b	c	d	e	f	g	h	i	j	k	l	m
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
n	o	p	q	r	s	t	u	v	w	x	y	z
14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26

给出如下变换公式：
X′=
将明文转换成密文，如8→+13=17，即h变成q；如5→=3，即e变成c．
①按上述规定，将明文good译成的密文是什么？
②按上述规定，若将某明文译成的密文是shxc，那么原来的明文是什么？

18. 难度：中等

已知α、β∈（0，），且，．
求证：对于x＞0，有f（x）＜2．

19. 难度：中等

已知a，b，c均为实数，且，，c=，求证：a，b，c中至少有一个大于0．

20. 难度：中等

用反证法证明：若x，y都是正实数，且x+y＞2求证：或中至少有一个成立．

21. 难度：中等

已知a，b，c∈R⁺，求证：．