2013年天津市蓟县高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i为虚数单位，复数=（ ）
A．2+i
B．2-i
C．i-2
D．-i-2

2. 难度：中等

已知实数x，y满足约束条件：，则z=2x+y的最小值是（ ）
A．-4
B．-2
C．0
D．2

3. 难度：中等

函数f（x）=e^x+x-2的零点所在区间是（ ）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）

4. 难度：中等

如果执行如面的程序框图，那么输出的S=（ ）

A．119
B．719
C．4949
D．600

5. 难度：中等

在正项等比数列{a_n}中，a₂a₄=4，S₃=14，数列{b_n}满足b_n=log₂a_n，则数列{b_n}的前6项和是（ ）
A．0
B．2
C．3
D．5

6. 难度：中等

设F是抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点，点A是抛物线与双曲线C₂：的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知f（x）=sin²x+sinxcosx，则f（x）的最小正周期和一个单调增区间分别为（ ）
A．π，[0，π]
B．2π，[-，]
C．π，[-，]
D．2π，[-，]

8. 难度：中等

已知定义在R上的函数y=f（x）满足一下三个条件：
①对于任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）；
②对于任意的x₁，x₂∈R，且0≤x₁≤x₂≤2，都有f（x₁）＜f（x₂）；
③函数的图象关于x=2对称；
则下列结论中正确的是（ ）
A．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）
B．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）
C．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）
D．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）

二、填空题

9. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|x²-2x＞0}，B={x||x+1|＜2}，则（∁_∪A）∩B等于    ．

10. 难度：中等

如图，是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是    ．

11. 难度：中等

函数f（x）=lnx-x+2的零点个数为    ．

12. 难度：中等

（几何证明选讲）如图，点A、B、C都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB=5，BC=3，CD=6，则线段AC的长为    ．

13. 难度：中等

已知直线l分别过函数y=a^x，（a＞0且a≠1）于函数y=log_bx，（b＞0且b≠1）的定点，第一象限的点P（x，y）在直线l上，则--的最大值为    ．

14. 难度：中等

已知P（x，y）是圆x²+（y-3）²=1上的动点，定点A（2，0），B（-2，0），则的最大值为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知，，且c=1．
（Ⅰ）求tanA；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

16. 难度：中等

甲、乙两校各有3名教师报名支教，期中甲校2男1女，乙校1男2女．
（I）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
（II）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．

17. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD点F是棱PD的中点，点E为CD的中点．
（1）证明：EF∥平面PAC；
（2）证明：PE⊥AF；
（3）求二面角B-PC-D的大小．

18. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，其中左焦点F（-2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x²+y²=1上，求m的值．

19. 难度：中等

已知x=1是函数f（x）=mx³-3（m+1）x²+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．
（Ⅰ）求m与n的关系表达式；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）求数列{n²a_n}的前n项和T_n；
（3）若存在n∈N^*，使得a_n≥（n+1）λ成立，求实数λ的取值范围．