2013年天津市耀华中学高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数的虚部是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

下列有关命题的叙述，错误的个数为（ ）
①已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，则“a₆+a₇＞0”是“S₉≥S₃”的充要条件
②命题“存在实数x，使x＞l”的否定是“对任意实数x，使x＜1”
③命题“若x²-4x+3=0，则x=l或x=3”的逆否命题为“若x≠1或x≠3，则x²-4x+3≠0
④若p∨q为假命题，则p、q均为假命题．
A．1
B．2
C．3
D．4

3. 难度：中等

由曲线y=，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为（ ）
A．
B．4
C．
D．6

4. 难度：中等

设二项式（a＞0）的展开式中x³的系数为A，常数项为B，若B=4A，则a的值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

5. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（ ）

A．105
B．16
C．15
D．1

6. 难度：中等

在△ABC中，设，则sinB的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．

7. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，，，连接CE、DF相交于点M，若，则实数λ与μ的乘积为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知P为抛物线y²=4x上一个动点，Q为圆x²+（y-4）²=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到y轴距离之和最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

对某商店一个月（30天）内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数分别是    、    ．

10. 难度：中等

已知直线PA切⊙O于点A，PBM是⊙O的一条割线，如图所示有∠P=∠BAC，若PA=，BM=9，BC=5，则AB=    ．

11. 难度：中等

已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为    ．

12. 难度：中等

已知数列{a_n}满足，则的最小值为    ．

13. 难度：中等

若关于x的不等式2-x²≥|x-a|至少有一个正数解，则实数a的取值范围是    ．

14. 难度：中等

函数f（x）在R上既是奇函数又是减函数，且当θ∈（0，）时，f（cos2θ+2msinθ）+f（-2m-2）＞0恒成立，则实数m的取值范围是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知向量，，函数．
（Ⅰ）求f（x）的最大值，并求取最大值时x的取值集合；
（Ⅱ）已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且a，b，c成等比数列，角B为锐角，且f（B）=1，求的值．

16. 难度：中等

一个袋子中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，若取至一个白球得2分，取到一个黑球得3分，
（I）若无放回地依次抽取3个小球，求得分不少于7分的概率．
（II）若从袋子中有放回地依次取出3只球，求总得分ξ的概率分布列及期望Eξ．

17. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O是AB中点．
（I）证明CD⊥平面POC；
（II）求二面角C-PD-O的平面角的余弦值．
（Ⅲ）在侧棱PC上是否存在点M，使得BM∥平面POD，若存在试求出，若不存往，清说明理由．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=，且对任意n∈N^*，都有．
（Ⅰ）求证：数列为等差数列；
（Ⅱ）试问数列{a_n}中a_k-a_k+1（k∈N^*）是否仍是{a_n}中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由．
（Ⅲ）令，证明：对任意n∈N*，都有不等式成立．

19. 难度：中等

已知椭圆的左顶点A（-2，0），过右焦点F且垂直于长轴的弦长为3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点A的直线l与椭圆交于点Q，与y轴交于点R，过原点与l平行的直线与椭圆交于点P，求证：为定值．

20. 难度：中等

已知函数 f（x）=x²+2lnx+aln（1+x²）．
（I）若a=求f（x）的极值；
（II）已知f（x）有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂
（i） 求a的取值范围
（ii）求证：f（x₁）＜1-4ln2
（III） a=0时，求证[f'（x）]ⁿ-2^n-1f'（xⁿ）≥2ⁿ（2ⁿ-2）