2012年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若sinθcosθ＜0，则角θ是（ ）
A．第一或第二象限角
B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角
D．第二或第四象限角

2. 难度：中等

已知命题p：∃x∈R，．则￢p是（ ）
A．∀x∈R，
B．∀x∉R，
C．∃x∈R，
D．∃x∉R，

3. 难度：中等

直线（t为参数）的倾斜角的大小为（ ）
A．-
B．
C．
D．

4. 难度：中等

若整数x，y满足，则2x+y的最大值是（ ）
A．1
B．
C．2
D．3

5. 难度：中等

已知点F₁、F₂是椭圆x²+2y²=2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．

6. 难度：中等

为了得到函数y=log₂的图象，可将函数y=log₂x的图象上所有的点的（ ）
A．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度
B．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度

7. 难度：中等

某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）
A．
B．
C．6
D．4

8. 难度：中等

点P（x，y）是曲线C：y=（x＞0）上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点O是坐标原点．给出三个命题：
①|PA|=|PB|；
②△OAB的周长有最小值4+2；
③曲线C上存在两点M，N，使得△OMN为等腰直角三角形．
其中真命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

二、填空题

9. 难度：中等

在面积为1的正方形ABCD内部随机取一点P，则△PAB的面积大于等于的概率是    ．

10. 难度：中等

已知．若数列a₁，a₂，a₃，…，a_k（1≤K≤11，K∈Z）是一个单调递增数列，则k的最大值是    ．．

11. 难度：中等

在△ABC中，若∠A=120°，c=5，△ABC的面积为，则a=    ．

12. 难度：中等

如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点P，，则∠DCB=    ．

13. 难度：中等

某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则AP+PF=f（x）．请你参考这些信息，推知函数f（x）的图象的对称轴是    ；函数g（x）=4f（x）-9的零点的个数是    ．

14. 难度：中等

曲线C是平面内到定点A（1，0）的距离与到定直线x=-1的距离之和为3的动点P的轨迹．则曲线C与y轴交点的坐标是    ；又已知点B（a，1）（a为常数），那么|PB|+|PA|的最小值d（a）=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₃=a₄+6，且a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{}的前n项和公式．

16. 难度：中等

如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA=，PA=AB=2，点E为线段PB的中点，点M在弧AB上，且OM∥AC．
（Ⅰ）求证：平面MOE∥平面PAC；
（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PCB；
（Ⅲ）设二面角M-BP-C的大小为θ，求cosθ的值．

17. 难度：中等

某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A，B两个项目可供选择：
投资A项目一年后获得的利润X₁（万元）的概率分布列如下表所示：

X1	11	12	17
P	a	0.4	b

且X₁的数学期望E（X₁）=12；
投资B项目一年后获得的利润X₂（万元）与B项目产品价格的调整有关，B项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p（0＜p＜1）和1-p．经专家测算评估：B项目产品价格一年内调整次数X（次）与X₂的关系如下表所示：

X（次）		1	2
X2（万元）	4.12	11.76	20.40

（1）求a，b的值；
（2）求X₂的分布列；
（3）若E（X₁）＜E（X₂），则选择投资B项目，求此时 p的取值范围．

18. 难度：中等

已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点（-1，）在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

已知函数．
（I）当-1＜a＜0时，求f（x）的单调区间；
（II）若-1＜a＜2（ln2-1），求证：函数f（x）只有一个零点x，且a+1＜x＜a+2；
（III）当时，记函数f（x）的零点为x，若对任意x₁，x₂∈[0，x]且x₂-x₁=1，都有|f（x₂）-f（x₁）|≥m成立，求实数m的最大值．
（本题可参考数据：ln2=0.7，，）

20. 难度：中等

将一个正整数n表示为a₁+a₂+…+a_p（p∈N*）的形式，其中a_i∈N*，i=1，2，…，p，且a₁≤a₂≤…≤a_p，记所有这样的表示法的种数为f（n）（如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故f（4）=5）．
（Ⅰ）写出f（3），f（5）的值，并说明理由；
（Ⅱ）对任意正整数n，比较f（n+1）与的大小，并给出证明；
（Ⅲ）当正整数n≥6时，求证：f（n）≥4n-13．