2013年江西省南昌三中高考数学三模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合P={x∈Z|0≤x＜2}，M{x∈Z|x²≤4}，则P∩M等于（ ）
A．{1}
B．{0，1}
C．[0，2）
D．[0，2]

2. 难度：中等

i是虚数单位，等于（ ）
A．i
B．-i
C．1
D．-1

3. 难度：中等

已知等比数列{a_n}中有a₃a₁₁=4a₇，数列{b_n}是等差数列，且a₇=b₇，则b₅+b₉=（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16

4. 难度：中等

某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的P为24，则输出的n，S的值分别为（ ）
A．n=4，S=30
B．n=4，S=45
C．n=5，S=30
D．n=5，S=45

5. 难度：中等

已知双曲线C₁：的离心率为2．若抛物线的焦点到双曲线C₁的渐近线的距离为2，则抛物线C₂的方程为（ ）
A．
B．x²=y
C．x²=8y
D．x²=16y

6. 难度：中等

等腰三角形ABC中，AB=AC=5，∠B=30°，P为BC边中线上任意一点，则的值为（ ）
A．
B．
C．5
D．

7. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）
A．
B．（4+π）
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数y=g（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，g（x）=log₂x，函数f（x）=4-x²，则函数f（x）•g（x）的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知函数f（x）=（a，b，c∈R）在区间（0，1）内取得极大值在区间（1，2）内取得极小值，则的取值范围为（ ）
A．（，2）
B．（，4）
C．（1，2）
D．（1，4）

10. 难度：中等

我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F₁、F₂是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F₁PF₂=60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．2

二、填空题

11. 难度：中等

已知向量，与垂直，||=    ．

12. 难度：中等

若函数，则函数f（x）的零点为    ．

13. 难度：中等

实数对（x，y）满足不等式组，则目标函数z=kx-y当且仅当x=3，y=1时取最大值，则k的取值范围是    ．

14. 难度：中等

在区间[2，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b则方程=1（a＞0，b＞0）表示焦点在x轴上的椭圆的概率为    ．

15. 难度：中等

已知数列{a_n}中a₁=1，a₂=2，数列{a_n}的前n项和为S_n，当整数n＞1时，S_n+1+S_n-1=2（S_n+S₁）都成立，则数列{}的前n项和为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求角A；
（2）设函数f（x）=sinx+2sinAcosx将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，把所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的对称中心及单调递增区间．

17. 难度：中等

2012年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：（60，65），[65，70）[70，75）[80，85）[85，90）后得到如图的频率分布直方图．
（1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？
（2）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值．
（3）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）的车辆至少有一辆的概率．

18. 难度：中等

如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B-ACD，点M是棱BC的中点，．
（Ⅰ）求证：OM∥平面ABD；
（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面MDO；
（Ⅲ）求三棱锥M-ABD的体积．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）的单调区间．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=S_n+1（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明： （n∈N^*）．

21. 难度：中等

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，其左、右焦点为F₁、F₂，点P是坐标平面内一点，且|OP|=，=其中O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点S（-，0），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在x轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．