2013年甘肃省天水一中高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

定义A-B={x|x∈A且x∉B}，已知A={2，3}，B={1，3，4}，则A-B=（ ）
A．{1，4}
B．{2}
C．{1，2}
D．{1，2，3}

2. 难度：中等

已知x，y∈R，i为虚数单位，且（x-2）i-y=-1+i，则（1-i）^x+y的值为（ ）
A．4
B．4+4i
C．-4
D．2i

3. 难度：中等

设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知a，b，c，d是实数，则“a＞b且c＞d”是“a•c+b•d＞b•c+a•d”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

设函数f（x）=（x+a）ⁿ，其中n=3sin（π+x）dx，，则f（x）的展开式中x²的系数为（ ）
A．-240
B．60
C．60
D．240

6. 难度：中等

过原点的直线与圆x²+y²-4x+3=0有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．
B．[]
C．[0，]
D．

7. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A．12+
B．10+
C．10
D．11+

8. 难度：中等

执行程序框图，若输出的n=5，则输入整数p的最小值是（ ）
A．7
B．8
C．15
D．16

9. 难度：中等

设函数，且αsinα-βsinβ＞0，则下列不等式必定成立的是（ ）
A．α＞β
B．α＜β
C．α+β＞0
D．α²＞β²

10. 难度：中等

将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为（ ）
A．80
B．120
C．140
D．50

11. 难度：中等

中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C₁的离心率为e，直线l与双曲线C₁交于A，B两点，线段AB中点M在一象限且在抛物线y²=2px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，则l的斜率为（ ）
A．
B．e²-1
C．
D．e²+1

12. 难度：中等

已知向量，，满足，，•．若对每一确定的，的最大值和最小值分别为m，n，则对任意，m-n的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．1

二、填空题

13. 难度：中等

函数的图象和函数g（x）=ln（x-1）的图象的交点个数是    ．

14. 难度：中等

已知x，y满足约束条件，且x+2y≥a恒成立，则a的取值范围为    ．

15. 难度：中等

已知数列{a_n}的首项a₁=2，且对任意的n∈N^*都有，则a₁•a₂•…a₂₀₁₃₌    ．

16. 难度：中等

下列说法正确的是    ．
（1）从匀速传递的产品生产流水线上，质检人员每20分钟从中抽取一件产品进行检测，这样的抽样方法为分层抽样；
（2）两个随机变量相关性越强，相关系数r的绝对值越接近1，若r=1或r=-1时，则x与y的关系完全对应（即有函数关系），在散点图上各个散点均在一条直线上；
（3）在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；
（4）对于回归直线方程，当x每增加一个单位时，平均增加12个单位；
（5）已知随机变量X服从正态分布N（1，σ²），若P（x≤2）=0.72，则P（x≤0）=0.28．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，已知acosB+bcosA=b，
（1）求证C=B；
（2）若∠ABC的平分线交AC于D，且sin=，求的值．

18. 难度：中等

衡阳市第一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的2×2列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为．

	优秀	非优秀	合计
甲班	10
乙班		30
合计			110

（1）请完成上面的列联表；
（2）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；
（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到9号或10号的概率．
参考公式与临界值表：．

P（K^2≥k）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

19. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，顶点P在底面ABCD内的射影恰好落在AB的中点O上，又∠BAD=90°，BC∥AD，且BC：AB：AD=1：2：2．
（1）求证：PD⊥AC；
（2）若PO=BC，求直线PD与AB所成的角；
（3）若平面APB与平面PCD所成的角为60°，求的值．

20. 难度：中等

已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0），点P是点F关于y轴的对称点，过点P的直线交抛物线于A，B两点．
（1）试问在x轴上是否存在不同于点P的一点T，使得TA，TB与x轴所在的直线所成的锐角相等，若存在，求出定点T的坐标，若不存在说明理由．
（2）若△AOB的面积为，求向量的夹角．

21. 难度：中等

设函数f（x）=xlnx（x＞0）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）设F（x）=ax²+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；
（3）斜率为k的直线与曲线y=f′（x）交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，求证：．

22. 难度：中等

如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠BAD．
（Ⅰ）求证：直线CE是⊙O的切线；
（Ⅱ）求证：AC²=AB•AD．

23. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁为（1＜a＜6，φ为参数）．在以O为原点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂的极坐标方程为ρ=6cosθ，射线为θ=α，与C₁的交点为A，与C₂除极点外的一个交点为B．当α=0时，|AB|=4．
（1）求C₁，C₂的直角坐标方程；
（2）设C₁与y轴正半轴交点为D，当时，设直线BD与曲线C₁的另一个交点为E，求|BD|+|BE|．

24. 难度：中等

已知函数f（x）=|x-a|．
（1）若f（x）≤m的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a，m的值．
（2）当a=2且t≥0时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2t）