2011年江苏省南通市高考数学一模试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合M={-1，1}，N={x|1≤2^x≤4}，则M∩N=    ．

2. 难度：中等

已知射手甲射击一次，命中9环以上（含9环）的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则甲射击一次，命中6环以下（含6环）的概率为    ．

3. 难度：中等

设（1+2i）z=3-4i（i为虚数单位），则|Z|=    ．

4. 难度：中等

根据如图的算法，输出的结果是    ．

5. 难度：中等

某校对全校1200名男女学生进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生抽了85人，则该校的男生数应是    人．

6. 难度：中等

若“x²-2x-3＞0”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为    ．

7. 难度：中等

设m，n为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题：
（1）若m∥α，m∥β，则α∥β；
（2）若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
（3）若m∥α，n∥α，则m∥n；
（4）若m⊥α，n⊥α，则m∥n．
上述命题中，所有真命题的序号是    ．

8. 难度：中等

双曲线上一点M到它的右焦点的距离是3，则点M的横坐标是    ．

9. 难度：中等

函数f（x）=sinωx+cosωx（x∈R），又f（α）=-2，f（β）=0，且|α-β|的最小值等于，则正数ω的值为    ．

10. 难度：中等

若圆C：（x-h）²+（y-1）²=1在不等式x+y+1≥0所表示的平面区域内，则h的最小值为    ．

11. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，-1），B（-3，-4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，且|=，则点C的坐标是    ．

12. 难度：中等

已知函数，若f′（x）=0在（1，3]上有解，则实数a的取值范围为    ．

13. 难度：中等

已知，若对∀x₁∈[-1，3]，∃x₂∈[0，2]，f（x₁）≥g（x₂），则实数m的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形的面积的最大值是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知向量a，b满足||=2，||=1，|-|=2．
（1）求•的值；
（2）求|+|的值．

16. 难度：中等

如图，已知▱ABCD，直线BC⊥平面ABE，F为CE的中点．
（1）求证：直线AE∥平面BDF；
（2）若∠AEB=90°，求证：平面BDF⊥平面BCE．

17. 难度：中等

如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数（A＞0，ω＞0），x∈[-4，0]时的图象，且图象的最高点为B（-1，2）．赛道的中间部分为长千米的直线跑道CD，且CD∥EF．赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧．
（1）求ω的值和∠DOE的大小；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，且∠POE=θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．

18. 难度：中等

如图，已知椭圆的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，直线l为椭圆的右准线，N为l上一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M．
（1）若AM=MN，求∠AMB的余弦值；
（2）设过A，F，N三点的圆与y轴交于P，Q两点，当线段PQ的中点坐标为（0，9）时，求这个圆的方程．

19. 难度：中等

设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，函数g（x）与f（x）的图象关于y轴对称，且当x∈（0，1）时，g（x）=1nx-ax²．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对于区间（0，1）上任意的x，都有|f（x）|≥1成立，求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}为各项均为正的等比数列，其公比为q．
（1）当q=时，在数列{a_n}中：
①最多有几项在1～100之间？
②最多有几项是1～100之间的整数？
（2）当q＞1时，在数列{a_n}中，最多有几项是100～1000之间的整数？（参考数据：lg3=0.477，lg2=0.301）．

21. 难度：中等

 选修4-1：几何证明选讲
锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC=60°，∠BAC=40°．作OE⊥AB交劣弧于点E，连接EC，求∠OEC．

22. 难度：中等

选修4-2：矩阵与变换
曲线C₁：x²+2y²=1在矩阵的作用下变换为曲线C₂，求C₂的方程．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
P为曲线C₁：（θ为参数）上一点，求它到直线C₂：（t为参数）距离的最小值．

三、填空题

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
设n∈N^*，求证：．

四、解答题

25. 难度：中等

用数学归纳法证明：．

26. 难度：中等

某车站每天上午发出两班客车，第一班客车在8：00，8：20，8：40这三个时刻随机发出，且在8：00发出的概率为，8：20发出的概率为，8：40发出的概率为；第二班客车在9：00，9：20，9：40这三个时刻随机发出，且在9：00发出的概率为，9：20发出的概率为，9：40发出的概率为．两班客车发出时刻是相互独立的，一位旅客预计8：10到站．求：
（1）请预测旅客乘到第一班客车的概率；
（2）旅客候车时间的分布列；
（3）旅客候车时间的数学期望．