2012年上海市嘉定区高考数学三模试卷（文科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

设集合A={x|x＜1，x∈R}，B={x|x²＜4，x∈R}，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

设a、b∈R，i为虚数单位，若（a+i）i=b+i，则复数z=a+bi的模为    ．

3. 难度：中等

函数y=cos²x-sin2x的最小正周期为    ．

4. 难度：中等

函数的反函数是f^-1（x）=    ．

5. 难度：中等

系数矩阵为，解为的一个线性方程组是    ．

6. 难度：中等

已知向量，，若，则实数k的值为    ．

7. 难度：中等

若一个圆锥的主视图是边长为3的等边三角形，则该圆锥的侧面积是    ．

8. 难度：中等

若a，b，c成等比数列，则函数f（x）=ax²+bx+c的图象与x轴的交点个数是    ．

9. 难度：中等

设则不等式f（x）＞2的解集为    ．

10. 难度：中等

如果执行的程序框图如图所示，那么输出的S=    ．

11. 难度：中等

已知动圆圆心在抛物线y²=4x上，且动圆恒与直线x=-1相切，则此动圆必过定点    ．

12. 难度：中等

从5名男生和2名女生中选出3人参加交通安全志愿者活动，则选出的3人中既有男生又有女生的概率是    ．

13. 难度：中等

若实数x，y满足如果目标函数z=x-y的最小值为-1，则实数m=    ．

14. 难度：中等

已知函数，点A_n为函数f（x）图象上横坐标为n（n∈N^* ）的点，O为坐标原点，向量．记θ_n为向量与的夹角，则=    ．

二、选择题

15. 难度：中等

“tanα=1”是“α=2kπ+（k∈Z）”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分又非必要条件

16. 难度：中等

下列命题中正确的是（ ）
A．若ac＞bc，则a＞b
B．若a²＞b²，则a＞b
C．若，则a＞b
D．若，则a＞b

17. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面是∠BAD=60°的菱形，且PA=PC，PB=BD，则该四棱锥的主视图（主视图投影平面与平面PAC平行）可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

18. 难度：中等

若对于任意实数m，关于x的方程恒有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．（-∞，1）
B．（0，1]
C．[0，1]
D．（0，1）

三、解答题

19. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=4．
（1）求三棱ABC-A₁B₁C₁的表面积S；
（2）设E为棱BB₁的中点，求异面直线A₁E与BC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

20. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的顶点．过坐标原点的直线交椭圆于A、B两点，其中A在第一象限．过点A作x轴的垂线，垂足为C．设直线AB的斜率为k．
（1）若直线AB平分线段MN，求k的值；
（2）当k=2时，求点A到直线BC的距离．

21. 难度：中等

如图，角θ的始边OA落在x上轴，其始边、终边分别与单位圆交于点A、C（0＜θ＜），△AOB为等边三角形．
（1）若点C的坐标为（），求cos∠BOC的值；
（2）设f（θ）=|BC|²，求函数f（θ）的解析式和值域．

22. 难度：中等

设向量，（n∈N^*），函数在x∈[0，1]上的最小值与最大值的和为a_n，又数列{b_n}满足b₁=1，．
（1）求证：a_n=n+1；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）设c_n=-a_n•b_n，试问数列{c_n}中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有c_n≤c_k成立？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．

23. 难度：中等

已知函数f（x）=x++b（x≠0），其中a、b为实常数．
（1）若方程f（x）=3x+1有且仅有一个实数解x=2，求a、b的值；
（2）设a＞0，x∈（0，+∞），写出f（x）的单调区间，并对单调递增区间用函数单调性定义进行证明；
（3）若对任意的a∈[，2]，不等式f（x）≤10在x∈[，1]上恒成立，求实数b的取值范围．