2013年江西省上饶市万年中学高考数学七模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i是虚数单位，=（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

集合A={y|y=2^x，x∈R}，B={-2，-1，0，1，2}，则下列结论正确的是（ ）
A．A∪B=（0，+∞）
B．（C_RA）∪B=（-∞，0]
C．C_RA∩B={-2，-1，0}
D．（C_RA）∪B={1，2}

3. 难度：中等

（文）下列各选项中与sin2012°最接近的是（ ）
A．
B．
C．-
D．-

4. 难度：中等

给出下列四个命题：
①命题“若X²=1，则x=1”的否命题为：“若：x²=1，则x≠0”；
②命题“∃x∈R，x²+x-1＜0”的否定是“∀x∈R，x²+x-1＞0”；
③命题“若：x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题；
④“x=-1”是“x²-5x-6=0的必要不充分条件．
其中真命题的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

5. 难度：中等

已知函数f（x）=，则=（ ）
A．1+
B．+
C．1+
D．+

6. 难度：中等

如图阅读程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）

A．-1
B．
C．2
D．0

7. 难度：中等

已知椭圆的焦点为F₁、F₂，在长轴A₁A₂上任取一点M，过M作垂直于A₁A₂的直线交椭圆于P，则使得的M点的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=b₁=1，，则数列的前10项的和为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知f（x）是定义域为R的奇函数，f（-4）=-1，f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（a+2b）＜1，则的取值范围是（ ）

A．
B．
C．（-1，10）
D．（-∞，-1）

10. 难度：中等

如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设=a+β（α，β∈R），则α+β的取值范围是（ ）
A．（0，]
B．[，]
C．（1，）
D．（1，）

二、填空题

11. 难度：中等

若α、β是函数f（x）=lg²x-lgx²-2的两个零点，则log_αβ+log_βα的值为    ．

12. 难度：中等

一几何体的三视图如图，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是    ．

13. 难度：中等

用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形（如下表），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有    种．

1	2	3
4	5	6
7	8	9

14. 难度：中等

如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点．则第11行的实心圆点的个数是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

（1）（坐标系与参数方程选做题）已知在极坐标系下，点A（1，），B（3，），O是极点，则△AOB的面积等于______

16. 难度：中等

已知向量=（sinx，-1），向量=（cosx，-），函数f（x）=（+）•．
（1）求f（x）的最小正周期T；
（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=2，c=4，且f（A）恰是f（x）在[0，]上的最大值，求A，b和△ABC的面积S．

17. 难度：中等

某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和．
（Ⅰ）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；
（Ⅱ）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元）．求随机变量X的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥p-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）点M在线段PC上，满足，试确定t的值，使PA∥平面MQB；
（2）在（1）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求平面MQB与平面CQB所成角的大小．

19. 难度：中等

设数列{a_n}的通项公式为，数列{b_n}满足，（t∈R，n∈N^*）．
（1）试确定实数t的值，使得数列{b_n}为等差数列；
（2）当数列{b_n}为等差数列时，对每个正整数k，在a_k和a_k+1之间插入b_k个2，得到一个新数列{c_n}．设T_n是数列{c_n}的前n项和，试求满足T_m=2c_m+1的所有正整数m．

20. 难度：中等

已知点P是圆O：x²+y²=3上动点，以点P为切点的切线与x轴相交于点Q，直线OP与直线x=1相交于点N，若动点M满足：，记动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若过点F（2，0）的动直线与曲线C相交于不在坐标轴上的两点A，B，设，问在x轴上是否存在定点E，使得？若存在，求出点E的坐标，若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx+，k∈R
（1）若k=1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≥2+恒成立，求实数k的取值范围；
（3）设g（x）=xf（x）-k，若对任意两个实数x₁，x₂满足0＜x₁＜x₂，总存在g′（x）=成立，证明x＞x₁．