2013年浙江省湖州市高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，5}，N={4，5}，则集合{1，6}=（ ）
A．M∪N
B．M∩N
C．C_U（M∪N）
D．C_U（M∩N）

2. 难度：中等

“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

复数表示复平面内的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

4. 难度：中等

设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考察下列命题，其中真命题是（ ）
A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β
B．α⊥β，α∩β=m，m⊥n⇒n⊥β
C．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n
D．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n

5. 难度：中等

在一个袋子中，装有4个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中任意摸出2个球，则两球同色的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

将函数y=sin2x+cos2x的图象向左平移个单位，所得图象的解析式是（ ）
A．y=cos2x+sin2
B．y=cos2x-sin2
C．y=sin2x-cos2
D．y=cosxsin

7. 难度：中等

把能够将圆O：x²+y²=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“圆梦函数”，则下列函数不是圆O的“圆梦函数”的是（ ）
A．f（x）=x³
B．
C．f（x）=ln[（4-x）（4+x）]
D．f（x）=（e^x+e^-x）

8. 难度：中等

定义为n个正数p₁，p₂，…p_n的“均倒数”．若已知数列{a_n}的前n项的“均倒数”为，又，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知双曲线右支上的一点P（x，y）到左焦点的距离与到右焦点的距离之差为，且到两条渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设函数f（x）=，g（x）=ax²+bx（a，b∈R，a≠0），若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且仅有两个不同的公共点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则下列判断正确的是（ ）
A．当a＜0时，x₁+x₂＜0，y₁+y₂＜0
B．当a＜0时，x₁+x₂＞0，y₁+y₂＞0
C．当a＞0时，x₁+x₂＞0，y₁+y₂＜0
D．当a＞0时，x₁+x₂＜0，y₁+y₂＞0

二、填空题

11. 难度：中等

某校对全校共1800名学生进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本，已知女生比男生少抽了20人，则该校的女生人数应是    人．

12. 难度：中等

若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的侧面积等于    ．

13. 难度：中等

已知程序框图如图，则输出的i=    ．

14. 难度：中等

若直线l是曲线C：y=斜率最小的切线，则直线l与圆的位置关系为    ．

15. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件，则的取值范围是    ．

16. 难度：中等

已知x＞0，y＞0，x+3y+xy=9，则x+3y的最小值为    ．

17. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN最长时.的最大值为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

已知函数f（x）=在区间[0，]上的最大值为2．
（Ⅰ）求常数m的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=1，sinB=3sinC，△ABC面积为，求边长a．

19. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，已知a₁=3，公比q≠1，等差数列{b_n}满足b₁=a₁，b₄=a₂，b₁₃=a₃．
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记，求数列{c_n}的前n项和S_n．

20. 难度：中等

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，，E为PD上一点，PE=2ED．
（Ⅰ）（ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（ⅱ）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由；
（Ⅱ）求直线CE与平面PAD所成角的正弦值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=2ax++（2-a）lnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=-1时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）当-3＜a＜-2时，若存在x₁，x₂∈[1，3]，使得|f（x₁）-f（x₂）|＞（m+ln3）a-2ln3成立，求实数m的取值范围．

22. 难度：中等

已知抛物线C：y²=2px（p＞0），焦点F到准线的距离为，过点A（x，0）（x≥）作直线l交抛物线C于点P，Q（点P在第一象限）．
（Ⅰ）若点A与焦点F重合，且弦长|PQ|=2，求直线l的方程；
（Ⅱ）若点Q关于x轴的对称点为M，直线PM交x轴于点B，且BP⊥BQ，求证：点B的坐标是（-x，0），并求点B到直线l的距离d的取值范围．