2013年江西省南昌三中高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合P={x∈Z|0≤x＜2}，M{x∈Z|x²≤4}，则P∩M等于（ ）
A．{1}
B．{0，1}
C．[0，2）
D．[0，2]

2. 难度：中等

某教师一天上3个班级的课，每班开1节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有排法有（ ）
A．474种
B．77种
C．462种
D．79种

3. 难度：中等

复数z₁=3+i，z₂=1-i，则复数的虚部为（ ）
A．2
B．-2i
C．-2
D．2i

4. 难度：中等

函数f（x）=sin（ωx+φ）（）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（ ）
A．关于点对称
B．关于点对称
C．关于直线对称
D．关于直线对称

5. 难度：中等

如图所示的算法流程图中输出的最后一个数为-55，则判断框中的条件为（ ）
A．n＜11
B．n≥11
C．n＜10
D．n≥10

6. 难度：中等

从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体，其三视图如图，则该几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

函数f（x）=cosπx与函数g（x）=|log₂|x-1||的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

8. 难度：中等

对于下列命题：
①在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；
②已知a，b，c是△ABC的三边长，若a=2，b=5，，则△ABC有两组解；
③设，，，则a＞b＞c；
④将函数图象向左平移个单位，得到函数图象．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

9. 难度：中等

我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F₁、F₂是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F₁PF₂=60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．2

10. 难度：中等

函数y=f（x）为定义在R上的减函数，函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，x，y满足不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0，M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，则当1≤x≤4时，的取值范围为（ ）
A．[12，+∞]
B．[0，3]
C．[3，12]
D．[0，12]

二、填空题

11. 难度：中等

在正三角形ABC中，D是BC上的点．若AB=3，BD=1，则=    ．

12. 难度：中等

若a=，则二项式展开式中含x的项的系数是    ．

13. 难度：中等

实数对（x，y）满足不等式组，则目标函数z=kx-y当且仅当x=3，y=1时取最大值，则k的取值范围是    ．

14. 难度：中等

设定义域为R的函数f（x）=，若关于x的方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有五个不同的实数解，则符合题意的a的取值范围是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）．若以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=．则直线l被曲线C所截得的弦长为______

四、填空题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=log₂（|x+1|+|x-2|-m）．若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围    ．

五、解答题

17. 难度：中等

△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求角A；
（2）设函数f（x）=sinx+2sinAcosx将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，把所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的对称中心及单调递增区间．

18. 难度：中等

中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q≤80时，为酒后驾车；当Q＞80时，为醉酒驾车．济南市公安局交通管理部门于2011年2月的某天晚上8点至11点在市区设点进行一次拦查行动，共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图，为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中Q≥140的人数计入120≤Q＜140人数之内）．
（1）求此次拦查中醉酒驾车的人数；
（2）从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取3人，求3人
中含有醉酒驾车人数x的分布列和期望．

19. 难度：中等

如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．
（1）求证：PC⊥AC；
（2）求二面角M-AC-B的余弦值．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=S_n+1（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明： （n∈N^*）．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁+2x₁＜f（x₂）+2x₂）恒成立，求a的取值范围．

22. 难度：中等

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，其左、右焦点为F₁、F₂，点P是坐标平面内一点，且|OP|=，=，其中O为坐标原点．Q为椭圆的左顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点S（-，0），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，是否存在直线l，使得VQAB为等腰三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．