2013年陕西省长安一中高考数学三模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A={x|}，B={x|x²＜2x}，则A∩B=（ ）
A．{x|0＜x＜1}
B．{x|0≤x＜1}
C．{x|0＜x≤1}
D．{x|0≤x≤1}

2. 难度：中等

若复数Z满足Z=（Z-1）-i，则复数Z的模为（ ）
A．1
B．
C．
D．2

3. 难度：中等

某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是为（ ）

A．80
B．40
C．
D．

4. 难度：中等

若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC（ ）
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

5. 难度：中等

函数f（x）=lg是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为2π的偶函数

6. 难度：中等

按如图的程序框图运行后，输出的S应为（ ）

A．26
B．35
C．40
D．57

7. 难度：中等

若数列{a_n}满足a₁=15，且3a_n+1=3a_n-2，则使a_ka_k+1＜0的k值为（ ）
A．22
B．21
C．24
D．23

8. 难度：中等

设a∈R，则“a=1”是“直线l₁：ax+2y-1=0与直线l₂：x+（a+1）y+4=0平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

9. 难度：中等

设F₁，F₂分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左，右焦点．若在双曲线右支上存在一点P，满足，且F₂到直线PF₁的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

一个赛跑机器人有如下特性：
（1）步长可以人为地设置成0.1米，0.2米，0.3米，…，1.8米或1.9米；
（2）发令后，机器人第一步立刻迈出设置的步长，且每一步的行走过程都在瞬时完成；
（3）当设置的步长为a米时，机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔a秒．
若设这个机器人以x（x∈{0.1，0.2，0.3，…，1.8，1.9）米的步长跑50米（允许超出50米）所需的时间为f（x）秒，则f（1.6）-f（0.5）=（ ）
A．0.1
B．1.2
C．-0.8
D．-0.4

二、填空题

11. 难度：中等

圆（x-4）²+y²=15与抛物线y²=4x的交点个数为    ．

12. 难度：中等

若向量=（cosθ，sinθ），，则的最大值为    ．

13. 难度：中等

已知-1＜x+y＜4且2＜x-y＜3，则z=2x-3y的取值范围是    ．（答案用区间表示）

14. 难度：中等

连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，若记向量=（m，n）与向量的夹角为θ，则θ为锐角的概率是    ．

15. 难度：中等

（不等式选讲）若实数a，b，c满足a²+b²+c²=4，则3a+4b+5c的最大值为    ．

16. 难度：中等

（几何证明选讲）以Rt△ABC的直角边AB为直径的圆O交AC边于点E，点D在BC上，且DE与圆O相切．若∠A=56°，则∠BDE=    ．

17. 难度：中等

（坐标系与参数方程）在极坐标系中，曲线与直线的两个交点之间的距离为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
（1）sin²13°+cos²17°-sin13°cos17°
（2）sin²15°+cos²15°-sin15°cos15°
（3）sin²18°+cos²12°-sin18°cos12°
（4）sin²（-18°）+cos²48°-sin²（-18°）cos48°
（5）sin²（-25°）+cos²55°-sin²（-25°）cos55°
（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

19. 难度：中等

随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图．
（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
（2）计算甲班的样本方差；
（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．

20. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．
（1）证明：PA∥平面BDE；
（2）证明：平面BDE⊥平面PBC．

21. 难度：中等

在数列{a_n}中，，且对任意的n∈N₊都有．
（Ⅰ）求证：是等比数列；
（Ⅱ）若对于任意n∈N₊都有a_n+1＜pa_n，求实数P的取值范围．

22. 难度：中等

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点，O为坐标原点．
（1）求直线ON的斜率k_ON；
（2）对于椭圆C上的任意一点M，设（λ∈R，μ∈R），求证：λ²+μ²=1．

23. 难度：中等

设函数f（x）=x²+aln（x+1）有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（1）求实数a的取值范围；
（2）当a=时，判断方程f（x）=-的实数根的个数，并说明理由．