2013年上海市静安区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（2ax+）的最小正周期为4π，则正实数a=    ．

2. 难度：中等

等比数列{a_n}（n∈N^*）中，若，，则a₁₂=    ．

3. 难度：中等

求和：=    ．（n∈N^*）

4. 难度：中等

两条直线l₁：3x-4y+9=0和l₂：5x+12y-3=0的夹角大小为    ．

5. 难度：中等

设x，y满足条件则点（x，y）构成的平面区域面积等于    ．

6. 难度：中等

设x，y满足约束条件则使得目标函数z=6x+5y的值最大的点（x，y）是    ．

7. 难度：中等

已知圆C过双曲线-=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是    ．

8. 难度：中等

某旅游团要从8个风景点中选两个风景点作为当天上午的游览地，在甲和乙两个风景点中至少需选一个，不考虑游览顺序，共有    种游览选择．

9. 难度：中等

已知a＜0，关于x的不等式ax²-2（a+1）x+4＞0的解集是    ．

10. 难度：中等

已知α、β为锐角，且，则tanαtanβ=    ．

11. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和为（n∈N^*），对任意正整数n，数列{b_n}的项都满足等式，则b_n=    ．

12. 难度：中等

机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”．如图所示，“海宝”从圆心O出发，先沿北偏西arcsin方向行走13米至点A处，再沿正南方向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处，点B、C都在圆O上．则在以圆心O为坐标原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向的直角坐标系中圆O的方程为    ．

13. 难度：中等

设P是函数y=x+（x＞0）的图象上任意一点，过点P分别向直线y=x和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则的值是    ．

14. 难度：中等

设复数z=（a+cosθ）+（2a-sinθ）i（i为虚数单位），若对任意实数θ，|z|≤2，则实数a的取值范围为    ．

二、选择题

15. 难度：中等

某地区的绿化面积每年平均比上一年增长10.4%，经过x年，绿化面积与原绿化面积之比为y，则y=f（x）的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．

16. 难度：中等

若复数z₁z₂≠0，则z₁z₂=|z₁z₂|是成立的（ ）
A．充要条件
B．既不充分又不必要条件
C．充分不必要条件
D．必要不充分条件

17. 难度：中等

函数f（x）=（x∈[1，3]）的值域为（ ）
A．[2，3]
B．[2，5]
C．
D．

18. 难度：中等

已知向量和满足条件：且．若对于任意实数t，恒有，则在、、、这四个向量中，一定具有垂直关系的两个向量是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与

三、解答题

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的递推公式为
（1）令b_n=a_n-n，求证：数列{b_n}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的前 n项和．

20. 难度：中等

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A、B、C所对的边长，且acosB-bcosA=c．
（1）求：的值；
（2）若A=60°，c=5，求a、b．

21. 难度：中等

某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是正方形，其中AB=2米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．
（1）设MN与AB之间的距离为x米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；
（2）求△EMN的面积S（平方米）的最大值．

22. 难度：中等

已知椭圆的两个焦点为F₁（-c，0）、F₂（c，0），c²是a²与b²的等差中项，其中a、b、c都是正数，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点A作直线交椭圆于另一点M，求|AM|长度的最大值；
（3）已知定点E（-1，0），直线y=kx+t与椭圆交于C、D相异两点．证明：对任意的t＞0，都存在实数k，使得以线段CD为直径的圆过E点．

23. 难度：中等

已知f（x）=，当点M（x，y）在y=f（x）的图象上运动时，点N（x-2，ny）在函数y=g_n（x）的图象上运动（n∈N^*）．
（1）求y=g_n（x）的表达式；
（2）若方程g₁（x）=g₂（x-2+a）有实根，求实数a的取值范围；
（3）设，函数F（x）=H₁（x）+g₁（x）（0＜a≤x≤b）的值域为，求实数a，b的值．