2013年江苏省南通市高考数学一模试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|x+1＞0}，则∁_UA=    ．

2. 难度：中等

已知复数z=（i是虚数单位），则复数z所对应的点位于复平面的第    象限．

3. 难度：中等

已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的侧面积是    ．

4. 难度：中等

定义在R上的函数f（x），对任意x∈R都有f（x+2）=f（x），当x∈（-2，0）时，f（x）=4^x，则f（2013）=    ．

5. 难度：中等

已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则p是q的    ．（从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空）

6. 难度：中等

已知双曲线的一个焦点与圆x²+y²-10x=0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为    ．

7. 难度：中等

若S_n为等差数列{a_n}的前n项和，S₉=-36，S₁₃=-104，则a₅与a₇的等比中项为    ．

8. 难度：中等

已知实数x∈[1，9]，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为    ．

9. 难度：中等

△ABC中，，则=    ．

10. 难度：中等

已知0＜a＜1，若log_a（2x-y+1）＞log_a（3y-x+2），且λ＜x+y，则λ的最大值为    ．

11. 难度：中等

曲线在点（1，f（1））处的切线方程为    ．

12. 难度：中等

如图，点O为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．则该物体5s时刻的位移为    cm．

13. 难度：中等

已知直线y=ax+3与圆x²+y²+2x-8=0相交于A，B两点，点P（x，y）在直线y=2x上，且PA=PB，则x的取值范围为    ．

14. 难度：中等

设P（x，y）为函数y=x²-1图象上一动点，记，则当m最小时，点 P的坐标为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E是侧面AA₁B₁B对角线的交点，F是侧面AA₁C₁C对角线的交点，D是棱BC的中点．求证：
（1）EF∥平面ABC；
（2）平面AEF⊥平面A₁AD．

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC的外接圆直径为1，求a²+b²的取值范围．

17. 难度：中等

某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，ABCD（AB＞AD）为长方形薄板，沿AC折叠后，AB'交DC于点P．当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB'PD的面积最大时制冷效果最好．
（1）设AB=x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；
（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？
（3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？

18. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₂=1，前n项和为S_n，且．
（1）求a₁，a₃；
（2）求证：数列{a_n}为等差数列，并写出其通项公式；
（3）设，试问是否存在正整数p，q（其中1＜p＜q），使b₁，b_p，b_q成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组（p，q）；若不存在，说明理由．

19. 难度：中等

已知左焦点为F（-1，0）的椭圆过点E（1，）．过点P（1，1）分别作斜率为k₁，k₂的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为线段AB的中点，求k₁；
（3）若k₁+k₂=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=-ax（x＞0且x≠1）．
（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；
（2）若∃x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f'（x₂）+a成立，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，F是的中点．求证：
（1）AB•AC=AE•AD；
（2）∠FAE=∠FAD．

22. 难度：中等

选修4-2：矩阵与变换
已知曲线C&：y²=2x，在矩阵M=对应的变换作用下得到曲线C₁，C₁在矩阵N=对应的变换作用下得到曲线C₂，求曲线C₂的方程．

23. 难度：中等

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程为ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=2，直线l的参数方程为试在曲线C上求一点M，使它到直线l的距离最大．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
已知a＞0，b＞0，且2a+b=1，求的最大值．

25. 难度：中等

如图，已知定点R（0，-3），动点P，Q分别在x轴和y轴上移动，延长PQ至点M，使，且．
（1）求动点M的轨迹C₁；
（2）圆C₂：x²+（y-1）²=1，过点（0，1）的直线l依次交C₁于A，D两点（从左到右），交C₂于B，C两点（从左到右），求证：为定值．

26. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：．
（1）若a=-1，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a=3，试证明：对∀n∈N^*，a_n是4的倍数．