2013年湖南省怀化市高考数学三模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={1，2}，N={2a-1|a∈M}，则M∪N等于（ ）
A．{1}
B．{1，2}
C．{1，2，3}
D．∅

2. 难度：中等

z=（其中i为虚数单位），则|z|为（ ）
A．4
B．5
C．7
D．25

3. 难度：中等

设向量，，命题“若，则||=||”的逆否命题是（ ）
A．若，则|||≠|
B．若，则|||≠|
C．若||≠|，则
D．若||=|，则

4. 难度：中等

函数f（x）=sinx+cosx的一条对称轴是（ ）
A．x=
B．x=
C．x=
D．x=

5. 难度：中等

一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

如图是某种零件加工过程的流程图：已知在一次这种零件的加工过程中，到达的1000个零件有99.4%的零件进入精加工工序．所有零件加工完后，共得到10个废品，则精加工工序产生的废品数为（ ）

A．7
B．6
C．5
D．4

7. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，若x，y满足，则z=-2x+y的最大值为（ ）
A．0
B．1
C．-3
D．-2

8. 难度：中等

若双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，线段F₁F₂被抛物线y²=2bx的焦点分成3：2的两段，则此双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知m＞0，f（x）是定义在R上周期为4的函数，在x∈（-1，3]上f（x）=，若方程f（x）=恰有5个实数解，则m的取值范围是（ ）
A．（，）
B．[，]
C．[，+∞]
D．（，+∞）

二、填空题

10. 难度：中等

计算 （log₂9）•（log₃4）=    ．

11. 难度：中等

二进制数101011_（2）化为十进制数是    ．

12. 难度：中等

直线l：ρcosθ=t（常数t＞0）与圆（θ为参数）相切，则t=    ．

13. 难度：中等

实数a∈[0，3]，b∈[0，2]，则关于x的方程x²+2ax+b²=0有实根的概率是    ．

14. 难度：中等

求“方程（）^x+（）^x=1的解”有如下解题思路：设f（x）=（）^x+（）^x，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程x⁶+x²=（x+2）³+（x+2）的解集为    ．

15. 难度：中等

规定满足“f（-x）=-f（x）”的分段函数叫“对偶函数”，已知函数f（x）=是对偶函数，则
（1）g（x）=    ．
（2）若f[-]＞0对于任意的n∈N°都成立，则m的取值范围是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，已知A=45°，cosB=．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）若BC=10，D为AB的中点，求AB，CD的长．

17. 难度：中等

每年的三月十二日是中国的植树节．林管部门在植树前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两批树苗中各抽了10株，测得髙度如下茎叶图，（单位：厘米），规定树苗髙于132厘米为“良种树苗”．

（I）根据茎叶图，比较甲、乙两批树苗的高度，哪种树苗长得整齐？
（Ⅱ）设抽测的10株甲种树苗高度平均值为，将这10株树苗的高度依次输入如图程序框图进行运算，问输出的S为多少？．
（Ⅲ）从抽测的甲乙两种“良种树苗”中任取2株，至少1株是甲种树苗的概率．

18. 难度：中等

已知正方形ABCD．E、F分别是AB、CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图所示，记二面角A-DE-C的大小为θ（0＜θ＜π）．
（I）证明BF∥平面ADE；
（II）若△ACD为正三角形，试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上，证明你的结论，并求角θ的余弦值．

19. 难度：中等

某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件．若作广告宣传，广告费为n千元时比广告费为（n-1）千元时多卖出件，（n∈N^*）．
（1）试写出销售量s与n的函数关系式；
（2）当a=10，b=4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？

20. 难度：中等

已知椭圆过点，离心率，若点M（x，y）在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”，直线l交椭圆C于A、B两点，若点A、B的“椭点”分别是P、Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的右顶点为D，上顶点为E，试探究△OAB的面积与△ODE的面积的大小关系，并证明．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+ax-lnx，a∈R．
（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）令g（x）=f（x）-x²，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；
（3）当x∈（0，e]时，证明：．