2012年上海市嘉定区高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

设集合A={x|x＜1，x∈R}，B={x|x²＜4，x∈R}，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

设a、b∈R，i为虚数单位，若（a+i）i=b+i，则复数z=a+bi的模为    ．

3. 难度：中等

函数y=cos²x-sin2x的最小正周期为    ．

4. 难度：中等

函数的反函数是f^-1（x）=    ．

5. 难度：中等

系数矩阵为，解为的一个线性方程组是    ．

6. 难度：中等

已知向量，，若，则实数k的值为    ．

7. 难度：中等

若圆锥的底面积为9π，体积为12π，则该圆锥的侧面积为    ．

8. 难度：中等

设数列{a_n}是等差数列，若a₃和a₂₀₁₀是方程4x²-8x+3=0的两根，则{a_n}的前2012项的和S₂₀₁₂=    ．

9. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（l为参数），以Ox的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，则圆C上的点到直线l距离的最大值是    ．

10. 难度：中等

如果执行的程序框图如图所示，那么输出的S=    ．

11. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的首项a₁=1，公比为q（q＞0），S_n为{a_n}的前n项和，则=    ．

12. 难度：中等

已知随机变量ξ的分布列如表所示：

x	-1		1	2
P（ξ=x）	a	b	c

若Eξ=0，Dξ=1，则b=    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=lg（1+），点A_n（n，0）（n∈N*），过点A_n作直线x=n交f（x）的图象于点B_n，设O为坐标原点．记θ_n=∠B_n+1A_nA_n+1（n∈N*），化简求和式S_n=tanθ₁+tanθ₂+…+tanθ_n=    ．

14. 难度：中等

设ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+ϕ）在区间[a，b]上递减，且值域为[-1，1]，则函数g（x）=cos（ωx+ϕ）在[a，b]上的单调递增区间是    ．

二、选择题

15. 难度：中等

“tanα=1”是“α=2kπ+（k∈Z）”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分又非必要条件

16. 难度：中等

已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，其一条渐近线方程为y=x，点在该双曲线上，则与的夹角大小为（ ）
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°

17. 难度：中等

设a=sin15°+cos15°，b=sin17°+cos17°，则下列各式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

18. 难度：中等

已知f（x）=x²，g（x）=（）^x-m．若对任意x₁∈[-1，3]，总存在x₂∈[0，2]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．[-8，+∞）
B．
C．
D．[1，+∞）

三、解答题

19. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=2且AC⊥BC，直线A₁B与平面BCC₁B₁所成角的大小为arcsin．
（1）求三棱锥B₁-A₁BC₁的体积；
（2）求点C到平面A₁BC₁的距离．

20. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的顶点．过坐标原点的直线交椭圆于A、B两点，其中A在第一象限．过点A作x轴的垂线，垂足为C．设直线AB的斜率为k．
（1）若直线AB平分线段MN，求k的值；
（2）当k=2时，求点A到直线BC的距离．

21. 难度：中等

如图，设A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第一、二象限．C是圆O与x轴正半轴的交点，△AOB为等边三角形．记以Ox轴正半轴为始边，射线OA为终边的角为θ．
（1）若点A的坐标为（，），求的值；
（2）设f（θ）=|BC|²，求函数f（θ）的解析式和值域．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=（a、b是非零实常数）满足f（1）=，且方程f（x）=x有且仅有一个实数解．
（1）求a、b的值；
（2）在直角坐标系中，求定点A（0，2）到函数f（x）图象上任意一点P（x，y）的距离|AP|的最小值．
（3）当x∈（]时，不等式（x+1）•f（x）＞m（m-x）-1恒成立，求实数m的取值范围．

23. 难度：中等

已知数列{a_n}的各项均为正数，其前n项的和为S_n，满足（n∈N*），其中p为正常数，且p≠1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在正整数M，使得当n＞M时，a₁•a₄•a₇•…•a_3n-2＞a₇₈恒成立？若存在，求出使结论成立的p的取值范围和相应的M的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）若p=，设数列{b_n}对任意n∈N*，都有b₁a_n+b₂a_n-1+b₃a_n-2+…+b_n-1a₂，问数列{b_n}是不是等差数列？若是，请求出其通项公式；若不是，请说明理由．