2013年天津市五区县高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i是虚数单位，复数等于（ ）
A．2+i
B．2-i
C．1+2i
D．1-2i

2. 难度：中等

设x∈R，则“x＞0“是““的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入的值为10时，输出S的值为（ ）

A．45
B．49
C．52
D．54

4. 难度：中等

在的二项展开式中，x²的系数为（ ）
A．40
B．-40
C．80
D．-80

5. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，，则a₃=（ ）
A．±9
B．9
C．±3
D．3

6. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则sinA=（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=1，点D在斜边AB上，且，λ∈R，若，则λ=（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

定义在R上奇函数，f（x）对任意x∈R都有f（x+1）=f（3-x），若f（1）=-2，则2012f（2012）-2013f（2013）=（ ）
A．-4026
B．4026
C．-4024
D．4024

二、填空题

9. 难度：中等

某奥运代表团由112名男运动员，84名女运动员和28名教练员组成，现拟采用分层抽样的方法抽出一个容量为32的样本，则女运动员应抽取    人．

10. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为    ．

11. 难度：中等

已知集合A={x∈R||x-1|＞2}，集合B={x∈R|x²-（a+1）x+a＜0}，若A∩B=（3，5）则实数a=    ．

12. 难度：中等

若直线x-y+t=0被曲线（θ为参数）截得的弦长为，则实数t的值为    ．

13. 难度：中等

如图，在⊙O中，CD垂直于直径AB，垂足为D，DE⊥BC，垂足为E，若AB=8，CE•CB=7，则AD=    ．

14. 难度：中等

设函数若f（-3）=f（-1），f（-2）=-3，则关于x的方程f（x）=x的解的个数为    个．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=sin2x+acos²x，a，a为常数，a∈R，且．
（I）求函数f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．

16. 难度：中等

一盒中装有9个大小质地相同的小球，其中红球4个，标号分别为0，1，2，3；白球3个，标号分别为0，1，2；黑球2个，标号分别为0，l；现从盒中不放回地摸出2个小球．
（I）求两球颜色不同且标号之和为3的概率；
（Ⅱ）记所摸出的两球标号之积为ξ，求ξ的分布列与数学期望．

17. 难度：中等

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，，E，F分别为AB、SB的中点．
（I）证明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求锐二面角F-CE-B的余弦值；
（Ⅲ）求B点到平面CEF的距离．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}中a₁=2，，数列{b_n}中，其中 n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）设S_n是数列{}的前n项和，求；
（Ⅲ）设T_n是数列的前n项和，求证：．

19. 难度：中等

设椭圆的中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，一个顶点为A（0，2），右焦点F到点的距离为2．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设经过点（0，-3）的直线l与椭圆相交于不同两点M，N满足，试求直线l的方程．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=ax³+bx²在点（2，f（2））处的切线方程为6x+3y-10=0，且对任意的x∈[0，+∞）f'（x）≤kln（x+1）恒成立．
（I）求a，b的值；
（Ⅱ）求实数k的最小值；
（Ⅲ）证明：．