2012年广东省江门市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={x|x≤3}，N是自然数集，则集合M∩N元素的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

2. 难度：中等

复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

3. 难度：中等

下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的是（ ）
A．
B．y=cos
C．y=e^x
D．y=ln|x|

4. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和，若它的第k项满足2＜a_k＜5，则k=（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

5. 难度：中等

下列结论，不正确的是（ ）
A．若命题p：∀x∈R，x≥1，则命题¬p：∀x∈R，x＜1
B．若p是假命题，q是真命题，则命题¬p与命题p∨q均为真命题
C．方程mx²+ny²=1（m，n是常数）表示双曲线的充要条件是m•n＜0
D．若角α的终边在直线y=x上，且-360°≤α＜360°，则这样的角α有4个

6. 难度：中等

有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知向量，，且，则与的夹角是（ ）
A．0
B．π
C．
D．或

8. 难度：中等

以x轴为对称轴，以坐标原点为顶点，焦点在直线x-y=1上的抛物线的方程是（ ）
A．y²=-4
B．y²=4
C．y²=-2
D．y²=2

9. 难度：中等

如图是某个正方体的侧面展开图，l₁、l₂是两条侧面对角线，则在正方体中，l₁与l₂（ ）
A．互相平行
B．异面且互相垂直
C．异面且夹角为
D．相交且夹角为

10. 难度：中等

设V是平面向量的集合，映射f：V→V满足，则对、，∀λ∈R，下列结论恒成立的是（ ）
A．
B．f=f[f（）+f（）]
C．f=f（）
D．f=f[f（）+f（）]

二、填空题

11. 难度：中等

执行如图的程序框图，输出的S=    ．

12. 难度：中等

已知x、y满足约束条件，则2x+y的最大值是    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=（1+cos2x）sin²x，x∈R．若，则=    ．

14. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）
如图，E、F是梯形ABCD的腰AD、BC上的点，其中CD=2AB，EF∥AB，若，则=    ．

15. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，经过点且垂直于OA（O为极点）的直线的极坐标方程是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

如图，四边形ABCD中，AB=5，AD=3，cosA=，△BCD是等边三角形．
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）求sin∠ABD．

17. 难度：中等

某年某省有23万多文科考生参加高考，除去成绩为670分（含670分）以上的6人与成绩为350分（不含350分）以下的38390人，还有约19.4万文科考生的成绩集中在[350，670）内，其成绩的频率分布如下表所示：

分数段	[350，390）	[390，430）	[430，470）	[470，510）
频率	0.108	0.133	0.161	0.183
分数段	[510，550）	[550，590）	[590，630）	[630，670）
频率	0.193	0.154	0.061	0.007

（1）请估计该次高考成绩在[350，670）内文科考生的平均分（精确到0.1）；
（2）考生A填报志愿后，得知另外有4名同分数考生也填报了该志愿．若该志愿计划录取2人，并在同分数考生中随机录取，求考生A被该志愿录取的概率．
（参考数据：610×0.061+570×0.154+530×0.193+490×0.183+450×0.161+410×0.133=443.93）

18. 难度：中等

如图，已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的俯视图是边长为3的正方形，侧视图是长为3宽为的矩形．
（1）求该四棱柱的体积；
（2）取DD₁的中点E，证明：面BCE⊥面ADD₁A₁．

19. 难度：中等

某产品生产成本C与产量q（q∈N^*））的函数关系式为C=100+4q，销售单价P与产量q的函数关系式为p=25-q．
（1）产量q为何值时，利润最大？
（2）产量q为何值时，每件产品的平均利润最大？

20. 难度：中等

已知椭圆C的中心在原点，长轴在x轴上，经过点A（0，1），离心率．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l_n：（n∈N*）与椭圆C在第一象限内相交于点A_n（x_n，y_n），记，试证明：对∀n∈N*，．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx-ax+1，a∈R是常数．
（1）求函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线l的方程，并证明函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方；
（2）讨论函数y=f（x）零点的个数．