2010年天津市和平区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|x=+，k∈Z}，B={x|x=+，k∈Z}，则（ ）
A．A=B
B．A⊊B
C．B⊊A
D．A∩B=∅

2. 难度：中等

复数4-3a-a²i与复数a²+4ai相等，则实数a的值为（ ）
A．1
B．1或-4
C．-4
D．0或-4

3. 难度：中等

设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．5
D．20

4. 难度：中等

已知圆C₁：x²+y²-10x-10y=0和C₂：x²+y²+6x+2y-40=0相交于A、B两点，则公共弦AB的长为（ ）
A．5
B．5
C．5
D．10

5. 难度：中等

函数f（x）=cosx+sinx的最小周期为（ ）
A．2π
B．
C．π
D．

6. 难度：中等

已知正方形ABCD，E是DC的中点，且=（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

双曲线-=1的两个焦点分别为F₁，F₂，双曲线上的点P到F₁的距离为9，则P到F₂的距离为（ ）
A．1
B．17
C．1或17
D．3或15

8. 难度：中等

在如图所示的程序框图中，输出的数A=（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

在下列各函数中，最小值等于2的函数是（ ）
A．y=x+
B．y=cosx+（0＜x＜）
C．y=
D．y=

10. 难度：中等

函数y=f（x）是定义在[a，b]上的增函数，其中a，b∈R，且0＜b＜-a，已知y=f（x）无零点，设F（x）=f²（x）+f²（-x），则对于函数y=F（x）有如下四种说法：①定义域是[-b，b]；②最小值是0；③是偶函数；④在定义域内单调递增．其中正确的说法是（ ）
A．①②③
B．②④
C．①③
D．①④

二、填空题

11. 难度：中等

的展开式中x³的系数是    ．

12. 难度：中等

如图，一个四棱锥的平面展开图由一个边长为1的正方形和四个边长为1的正三角形组成，则该四棱锥的体积等于    ．

13. 难度：中等

若正项数列{a_n}满足a₁=2，-3a_n+1a_n-4=0，则数列{a_n}的通项a_n=    ．

14. 难度：中等

将参数方程（t是参数）化为普通方程是    ．

15. 难度：中等

不等式|x+2|+|x-1|≤4的解集是    ．

16. 难度：中等

某校开设10门课程供学生选修，学校规定每位学生选修三门，其中A，B，C三门课程至多选一门，则每位同学不同的选修方案总数是    （用数字作答）．

三、解答题

17. 难度：中等

已知α∈（），且sinα=；
（Ⅰ）求sin（α+）的值；
（Ⅱ）求cos（2α+）的值．

18. 难度：中等

甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道被选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是．
（Ⅰ）求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；
（Ⅱ）设甲答对题目的个数为X，求X的分布列及数学期望．

19. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AA₁=2，AC=BC=1，且AC⊥BC，M是A₁B₁的中点．
（Ⅰ）求证：CB₁∥平面AC₁M；
（Ⅱ）设AC与平面AC₁M的夹角为θ，求sinθ．

20. 难度：中等

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，左、右焦点分别为F₁、F₂，点满足：F₂在线段PF₁的中垂线上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A（2，0）、M、N，且∠NF₂F₁=∠MF₂A，求k的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+ax²-4，（a∈R）
（Ⅰ）若y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为，求a；
（Ⅱ）设f（x）的导函数是f′（x），在（Ⅰ）的条件下，若m，n∈[-1，1]，求f（m）+f′（n）的最小值．
（Ⅲ）若存在x∈（0，+∞），使f（x）＞0，求a的取值范围．

22. 难度：中等

在数列{a_n}中，（c为常数，n∈N*），且a₁，a₂，a₅成公比不为1的等比数列．
（Ⅰ）求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）求c的值；
（Ⅲ）设b_n=a_na_n+1，求数列{b_n}的前n项和S_n．