2013年广东省珠海市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M={0，1，2}，N={x|x=2a，a∈M}，则集合M∩N=（ ）
A．{0}
B．{0，1}
C．{1，2}
D．{0，2}

2. 难度：中等

设a是实数，且是实数，则a=（ ）
A．
B．1
C．
D．2

3. 难度：中等

若函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R（其中ω＞0，）的最小正周期是π，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

下面四个说法中，正确的个数为（ ）
（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合
（2）两条直线可以确定一个平面
（3）若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l
（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．
A．1
B．2
C．3
D．4

5. 难度：中等

已知，则的值为（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2

6. 难度：中等

设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

设e₁，e₂分别为具有公共焦点F₁与F₂的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．不确定

8. 难度：中等

已知f（1，1）=1，f（m，n）∈N*（m、n∈N^*），且对任意m、n∈N^*都有：
①f（m，n+1）=f（m，n）+2；②f（m+1，1）=2f（m，1）．
给出以下三个结论：
（1）f（1，5）=9；
（2）f（5，1）=16；
（3）f（5，6）=26．
其中正确的个数为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0

二、填空题

9. 难度：中等

圆心为（1，1）且与直线x+y=4相切的圆的方程是    ．

10. 难度：中等

已知向量满足，则的夹角为    ．

11. 难度：中等

若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有    种．

12. 难度：中等

如图，一个空间几何体的正视图、侧视图是周长为4一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为    ．

13. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线与圆的公共点个数是    ．

14. 难度：中等

（不等式选讲选做题）x、y＞0，x+y=1，则的最小值为    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）
如图所示，等腰三角形ABC的底边AC长0为6，其外接圆的半径长为5，则三角形ABC的面积是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设集合A={x|x²＜4}，．
（1）求集合A∩B；
（2）若不等式2x²+ax+b＜0的解集为B，求a，b的值．

17. 难度：中等

已知函数．
（1）求f（x）的最值；
（2）求f（x）的单调增区间．

18. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．
（1）求证：CD⊥AE；
（2）求证：PD⊥面ABE；
（3）求二面角A-PD-C的平面角的正弦值．

19. 难度：中等

已知抛物线C：y=ax²（a为非零常数）的焦点为F，点P为抛物线C上一个动点，过点P且与抛物线C相切的直线记为L．
（1）求F的坐标；
（2）当点P在何处时，点F到直线L的距离最小？

20. 难度：中等

数列{a_n}是以a为首项，q为公比的等比数列．令b_n=1-a₁-a₂-…-a_n，c_n=2-b₁-b₂-…-b_n，n∈N^*．
（1）试用a、q表示b_n和c_n；
（2）若a＜0，q＞0且q≠1，试比较c_n与c_n+1的大小；
（3）是否存在实数对（a，q），其中q≠1，使{c_n}成等比数列．若存在，求出实数对（a，q）和{c_n}；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

设函数f（x）=（x-1）²+blnx，其中b为常数．
（1）当时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（2）若函数f（x）的有极值点，求b的取值范围及f（x）的极值点；
（3）求证对任意不小于3的正整数n，不等式都成立．