2013年天津市耀华中学高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

如图所示，直线PA切⊙O于点A，直线PO分别与⊙O相交子点B、C，已知，则线段AB长    ．

2. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为，设圆C与直线l交于点A、B，则弦AB长为    ．

3. 难度：中等

已知实数x，y∈（0，），且tanx=3tany，则x-y的最大值是    ．

4. 难度：中等

函数f（x）=，若直线y=kx-1与函数y=f（x）有3个公共点，则实数k的取值范围是    ．

二、解答题

5. 难度：中等

已知函数f（x）=tan（2x+）
（I）求该函数的定义域，周期及单调区间；
（II）若f（θ）=，求的值．

6. 难度：中等

某中学校本课程共开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门课程课，现有该校的甲、乙、丙3名学生：
（I）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；
（II）设3名学生选择A选修课的人数为ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ．

7. 难度：中等

已知三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，三个侧面均为矩形，底面ABC为等腰直角三角形，C₁C=CA=CB=2，点D为棱CC₁的中点，点E在棱B₁C₁上运动．
（I）求证A₁C⊥AE；
（II）当点E到达某一位置时，恰使二面角E-A₁D-B的平面角的余弦值为，求；
（III）在（II）的条件下，在平面ABC上确定点F，使得EF⊥平面A₁DB？并求出EF的长度．

8. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：
（I）求a₂，a₃；
（II）设，求证：数列{b_n}是等比数列，并求其通项公式；
（Ⅲ）求数列{a_n}前20项中所有奇数项的和．

9. 难度：中等

已知点D（0，-2），过点D作抛物线C₁：x²=2py（p＞0）的切线l，切点A在第二象限，如图
（Ⅰ）求切点A的纵坐标；
（Ⅱ）若离心率为的椭圆恰好经过切点A，设切线l交椭圆的另一点为B，记切线l，OA，OB的斜率分别为k，k₁，k₂，若k₁+2k₂=4k，求椭圆方程．

10. 难度：中等

设，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直．
（1）求a的值；
（2）若∀x∈[1，+∞），f（x）≤m（x-1）恒成立，求m的范围．
（3）求证：．

三、选择题

11. 难度：中等

复数-=（ ）
A．0
B．2
C．-2i
D．2i

12. 难度：中等

下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（ ）
A．p：x=1，q：x²=
B．p：m+n是无理数，q：m和n是无理数
C．p：a+c＞b+d，q：a＞b且c＞d
D．p：a＞1，q：f（x）=log_ax（a＞0，且a≠1）在（0，+∞）上为增函数

13. 难度：中等

如果执行程序框图，那么输出的S=（ ）

A．2450
B．2500
C．2550
D．2652

14. 难度：中等

设ω＞0，函数y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．3

15. 难度：中等

一个等差数列第5项a₅=10，且a₁+a₂+a₃=3，则有（ ）
A．a₁=-2，d=3
B．a₁=2，d=-3
C．a₂=-3，d=2
D．a₃=3，d=-2

16. 难度：中等

已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，由F向其渐近线上引垂线，垂中为P，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．

17. 难度：中等

在矩形ABCD中，AB=1，AD=，P为矩形内一点，且，若（λ，μ∈R），則的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

18. 难度：中等

高三年级有文科、理科共9个备课组，每个备课组的人数不少于4个，现从这9个备课组中抽出l2人，每个备课组至少1人，组成“年级核心组”商议年级的有关事宣．则不同的名分配方案共有（ ）
A．129种
B．148种
C．165种
D．585种

四、填空题

19. 难度：中等

某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为    ．

20. 难度：中等

某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是    ．