《立体几何》2013年广东省广州大学附中高考数学二轮检测（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

-个几何体的正视图与侧视图相同，均为下图所示，则其俯视图可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

若向量=（1，λ，2），=（2，-1，2），且与的夹角余弦值为，则λ等于（ ）
A．2
B．-2
C．-2或
D．2或-

3. 难度：中等

已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为AC与BD的交点，若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．-++
B．
C．
D．--+

5. 难度：中等

已知一几何体的三视图如图，主视图和左视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，以这4个点为顶点的几何形体可能是（ ）
①矩形；
②有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；
③每个面都是直角三角形的四面体．

A．①②
B．①②③
C．①③
D．②③

6. 难度：中等

已知点A的坐标是（1-t，1-t，t），点B的坐标是（2，t，t），则A与B两点间距离的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

下列命题中，正确的是（ ）
A．一个平面把空间分成两部分
B．两个平面把空间分成三部分
C．三个平面把空间分成四部分
D．四个平面把空间分成五部分

9. 难度：中等

一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：cm²）为（ ）
A．48+12
B．48+24
C．36+12
D．36+24

10. 难度：中等

下列命题正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
D．用一个平面去截棱锥，截面与底面之间的部分组成的几何体叫棱台

11. 难度：中等

已知三棱锥的正视图与俯视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知三角形的三边分别为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积为s=（a+b+c）r；四面体的四个面的面积分别为s₁，s₂，s₃，s₄，内切球的半径为R．类比三角形的面积可得四面体的体积为（ ）
A．∀=（s₁+s₂+s₃+s₄）R
B．∀=（s₁+s₂+s₃+s₄）R
C．∀=（s₁+s₂+s₃+s₄）R
D．∀=（s₁+s₂+s₃+s₄）R

二、填空题

13. 难度：中等

已知点A（-2，3，4），在y轴上求一点B，使|AB|=7，则点B的坐标为    ．

14. 难度：中等

已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形，则该三棱锥的表面积为    ．

15. 难度：中等

自半径为R的球面上一点P引球的两两垂直的弦PA、PB、PC，则PA²+PB²+PC²=    ．

16. 难度：中等

已知长方体的三条面对角线的长分别为5，4，x，则x的取值范围为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

如图，已知三棱锥A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．
（1）求证：DM∥平面APC；
（2）若BC=4，AB=20，求三棱锥D-BCM的体积．

18. 难度：中等

如图，在棱长为1的正方体AC₁中，E、F分别为A₁D₁和A₁B₁的中点．
（1）求异面直线AF和BE所成的角的余弦值：
（2）求平面ACC₁与平面BFC₁所成的锐二面角：
（3）若点P在正方形ABCD内部或其边界上，且EP∥平面BFC₁，求EP的取值范围．

19. 难度：中等

如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．
（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（2）求二面角M-AC-B的平面角的余弦值．

20. 难度：中等

四面体D-ABC，中，AB=BC，在侧面DAC中，中线AN⊥中线DM，且DB⊥AN．
（1）求证：平面ACD⊥平面ABC；
（2）若AN=4，DM=3，BD=5，求四面体D-ABC的体积．

21. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD=DC=4，AD=2，E为PC的中点．
（Ⅰ）求证：AD⊥PC；
（Ⅱ）求三棱锥A-PDE的体积；
（Ⅲ）AC边上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM，若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=1．
（1）求证：平面AB₁D⊥平面B₁BCC₁；
（2）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（3）求二面角B-AB₁-D的正切值．