2013年河北省唐山市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3，4}的集合B的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

2. 难度：中等

若复数为纯虚数，则|3-ai|=（ ）
A．
B．13
C．10
D．

3. 难度：中等

已知，则 tan2α=（ ）
A．
B．-
C．
D．-．

4. 难度：中等

求三个不相等的实数a，b，c最大值的程序框图如图所示，则空白判断框内应为（ ）

A．a＞b？
B．a＞c？
C．d＞b 或 a＞c？
D．a＞b 且 a＞c？

5. 难度：中等

已知向量，满足（+2）•（-）=-6，且||=1，||=2，则与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象如图所示，为了得到函数的图 象，只需将y=f（x）的图象（ ）

A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向心平移．个单位

7. 难度：中等

学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题 讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安 排方法共有（ ）
A．36 种
B．30 种
C．24 种
D．6 种

8. 难度：中等

不等式组，表示的平面区域的面积为，则a=（ ）
A．
B．1
C．2
D．3

9. 难度：中等

如图1，边长为2的d正方形ABCD中，E，F 分别是AB，BC的中点，将△ADE，△CDF，△BEF折起，使A，C，B二点重合于G，所 得二棱锥G-DEF的俯视图如图2，则其正视图的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

己知直线l的斜率为k，它与抛物线y²=4x相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，则|k|=（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

x函数f（x）=2sinx-πlnx（x∈（O，π））的零点，x₁＜x₂，则
①x∈（1，e）；
②x∈（1，π）；
③f（x1）-f（x2）＜0；
④f（x1）-f（x2）＞0．
其中正确的命题为（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

12. 难度：中等

三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，所有棱长都是6，则四面体A₁ABC，B₁ABC，C₁ABC的公共部分的体积等于（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

不等式的解集为    ．

14. 难度：中等

双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率其焦点到渐近线的距离为1，则C的方程为    ．

15. 难度：中等

1000名考生的数学成绩近似服从正态分布N（100，100），则成绩在120分以上的考生人数约为    ．
（注：正态总体N（μ，σ²）在区．间（μ-σ，μ+σ），（μ-2σ，μ+2σ），（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为0.683，0.954，0，997）

16. 难度：中等

△ABC中，角A、B、C所对的边a，b，c成等差数列，且最大角是最小角的2倍，则 cosA+cosC=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知等比数列{a_n}满足
（I）求{a_n}的通项公式；
（II）设，求数列的前n项的和．

18. 难度：中等

某公司共有职工8000名，从中随机抽取了100名，调查上、下班乘车所用时间，得下表：

所用时间（分钟）	[0，20）	[20，40）	[40，60）	[60，80）	[80，100）
人数	25	50	15	5	5

公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额Y （元）与乘车时间t （分钟）的关系是，其中表示不超过的最大整数．以样本频率为概率：
（I）估算公司每月用于路途补贴的费用总额（元）；
（II）以样本频率作为概率，求随机选取四名职工，至少冇两名路途补贴超过300 元的概率．

19. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAD丄底面ABCD，∠APD=．
（I ）求证：平面PAB丄平面PCD；
（II）如果AB=BC，PB=PC，求二面角B-PC-D的余弦值．

20. 难度：中等

已知椭圆C₁：和动圆，直线l：y=kx+m与C₁和C₂分别有唯一的公共点A和B．
（I）求r的取值范围；
（II ）求|AB|的最大值，并求此时圆C₂的方程．

21. 难度：中等

己知函数f（x）=（mx+n）e^-x在x=1处取得极值e^-1
（I ）求函数f（x）的解析式，并求f（x）的单调区间；
（II ）当．x∈（a，+∞）时，f（2x-a）+f（a）＞2f（x），求a的取值范围．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，直线MN交圆O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAMM，交圆0于点D，过D作DE上MN于E．
（I）求证：DE是圆O的切线：
（II）若DE=6，AE=3，求△ABC的面积．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程．
极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．己知曲线C₁的极坐标方程为p=4cosθ曲线C₂的参数方程是（t为参数，0≤a＜π），射线与曲线C₁交于极点O外的三点A，B，C．
（I ）求证：；
（II ）当时，B，C两点在曲线C₂上，求m与a的值．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=丨x-a丨+|x-1丨，a∈R．
（I ）当a=3时，解不等式 f（x）≤4；
（II）当x∈（-2，1））时，f（x）＞|2x-a-1|．求 a 的取值范围．