2013年河南省南阳一中高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数=（ ）
A．i
B．-i
C．12-13i
D．12+13i

2. 难度：中等

若全集为实数集R，集合A={x|（2x-1）＞0}，则∁_RA=（ ）
A．
B．（1，+∞）
C．
D．

3. 难度：中等

阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入m=72，n=30，则输出n的值为（ ）

A．12
B．6
C．3
D．0

4. 难度：中等

已知数列{a_n}是公差为2的等差数列，且a₁，a₂，a₅成等比数列，则a₂为（ ）
A．-2
B．-3
C．2
D．3

5. 难度：中等

设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=O，F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，若|PF₁|=3，则|PF₂|=（ ）
A．1或5
B．6
C．7
D．9

6. 难度：中等

函数y=e^x-lnx的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

下列有关命题说法正确的是（ ）
A．命题p：“∃x∈R，sinx+cosx=”，则¬p是真命题
B．“x=-1”是“x²-5x-6=0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x²+x+1＜0“的否定是：“∀x∈R，x²+x+1＜0”
D．“a＞l”是“y=log_ax（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件

8. 难度：中等

2名男生和3名女生站成一排照相，若男生甲不站两端，3名女生中有且只有两名相邻，则不同的排法种数是（ ）
A．36
B．42
C．48
D．60

9. 难度：中等

若，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ）
A．16π
B．π
C．4π
D．2π

11. 难度：中等

双曲线与抛物线y²=2px（p＞0）相交于A，B两点，公共弦AB恰好过它们的公共焦点F，则双曲线C的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知定义在R上的函数y=f（x）对任意的x都满足f（x+1）=-f（x），当-1≤x＜1时，f（x）=x³，若函数g（x）=f（x）-log_a|x|至少6个零点，则a取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为    ．

14. 难度：中等

设函数f（x）=（x-2）ⁿ，其中n=6cosxdx，则f（x）展开式中x⁴的系数为    ．

15. 难度：中等

设实数x，y满足，则u=的取值范围是    ．

16. 难度：中等

如图，它满足①第n行首尾两数均为n，②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行（n≥2）第2个数是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．
（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；
（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α-β最大？

18. 难度：中等

现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对楼市“楼市限购令”赞成人数如下表．

月收入（单位百元）	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65）	[65，75）
频数	5	10	15	10	5	5
赞成人数	4	8	12	5	2	1

（Ⅰ）由以上统计数据填下面2乘2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异；

	月收入不低于55百元的人数	月收入低于55百元的人数	合计
赞成	a=	c=
不赞成	b=	d=
合计

（Ⅱ）若对在[15，25），[25，35）的被调查中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
参考公式：，其中n=a+b+c+d．
参考值表：

P（K^2≥k）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

19. 难度：中等

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱CC₁⊥底面ABC，∠ACB=90°，且AC=BC=CC₁，O为AB₁中点．
（1）求证：CO⊥平面ABC₁；
（2）求直线BC与平面ABC₁所成角的正弦值．

20. 难度：中等

椭圆E：=1（a＞b＞0）离心率为，且过P（，）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知直线l过点M（-，0），且与开口朝上，顶点在原点的抛物线C切于第二象限的一点N，直  线l与椭圆E交于A，B两点，与y轴交与D点，若=，，且λ+μ=，求抛物线C的标准方程．

21. 难度：中等

已知a＞0，函数f（x）=ax²-x，g（x）=ln（ax）
（1）若直线y=kx-1与函数f（x）、g（x）相切于同一点，求实数a，k的值；
（2）是否存在实数a，使得f（x）≥g（x）成立，若存在，求出实数a的取值集合，不存在说明理由．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．OE交AD于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，求的值．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
C₁：（t为参数），C₂：（θ为参数）．
（I）当α=时，求C₁与C₂的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点O做C₁的垂线，垂足为A，且当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

24. 难度：中等

已知函数f（x）=|x-a|-|x-5|，a＞0．
（I）若a=2，求f（x）≥0的解集．
（II）若不等式f（x）≤2x的解集为[5，+∞），求a的值．