2012年广东省汕头市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z=（a²-1）+（a+1）i，若z是纯虚数，则实数a等于（ ）
A．2
B．1
C．±1
D．-1

2. 难度：中等

如图a∈R，且a²+a＜0，那么a，a²，-a，-a²的大小关系式（ ）
A．a²＞a＞-a²＞-a
B．a²＞-a＞a＞-a²
C．-a＞a²＞a＞-a²
D．-a＞a²＞-a²＞a

3. 难度：中等

从某小学随机抽取200名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，则从身高在[130，150]内的学生中选取的人数应为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2

4. 难度：中等

以抛物线y²=8x的顶点为中心，焦点为右焦点，且以为渐近线的双曲线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

一个空间几何体的正视图、左视图、俯视图为全等的、直角边为1的等腰直角三角形（如图），那么这个几何体的体积为（ ）

A．1
B．
C．
D．

6. 难度：中等

函数y=tanx+sinx+|tanx-sinx|在区间（，）内的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

有以下四个命题：
①△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件；
②若命题p：∀x∈R，sinx≤1，则¬p：∀x∈R，sinx＞1；
③不等式10^x＞x²在（0，+∞）上恒成立；
④设有四个函数y=x^-1，，，y=x³，其中在（0，+∞）上是增函数的函数有3个．
其中真命题的序号是（ ）
A．③④
B．①④
C．①③④
D．②③

8. 难度：中等

半径为R的圆周上任取A、B、C三点，则三角形ABC为锐角三角形的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

已知直线x+3y-1=0关于直线y=x对称的直线方程是    ．

10. 难度：中等

若=，则-的值为    ．

11. 难度：中等

在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，D为BC边上的点，且，若，则    ．

12. 难度：中等

定义某种运算S=a⊕b，运算原理如图所示，则式子=    ．

13. 难度：中等

在计算“++…+（n∈N^﹡）”时，某同学学到了如下一种方法：
先改写第k项：=-，
由此得=-，=-，，=-，
相加，得++…+=1-=
类比上述方法，请你计算“++…+（n∈N^﹡）”，其结果为    ．

14. 难度：中等

已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是     ．

15. 难度：中等

如图，已知⊙O的直径AB=5，C为圆周上一点，BC=4，过点C作⊙O的切线l，过点A作l的垂线AD，垂足为D，则CD=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

龙是十二生肖中唯一虚构的动物，中国人对它却是又敬又怕、有一种特殊的感情，龙的地位之高任何动物也无法与之比较，中国人心中，它是一种能呼风唤雨，腾云驾雾的神物．帝王自称自己是真龙天子、百姓自称自己是龙的传人．2012年是中国的农历龙年，为了庆祝龙年的到来，某单位的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有5个红球和5个白球，这些球除了颜色外完全相同．一次从中摸出2个球，并且规定：摸到2个白球中三等奖，能够得到奖金200元；摸到1个红球，1个白球中二等奖，能够得到奖金600元；摸到2个红球，中一等奖，能够得到奖金1000元．
（Ⅰ）求某人参与摸奖一次，至少得到600元奖金的概率．
（Ⅱ）假设某人参与摸奖一次，所得的奖金为ξ元，求ξ的分布列及数学期望．

17. 难度：中等

如果△ABC不是直角三角形，且A、B、C是△ABC的三个内角：
（1）求证：tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC
（2）如果sinA=，cosB=，求cosC．

18. 难度：中等

如图，直角△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面，PA⊥平面ABC，DC=BC=2PA，E为DB的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥BC；
（Ⅱ）若点F是线段BC上的动点，设平面PFE与平面PBE所成的平面角大小为θ，当θ在[0，]内取值时，直线PF与平面DBC所成的角为α，求tanα的取值范围．

19. 难度：中等

已知a∈R，函数f（x）=x²|x-a|．
（Ⅰ） 当a=1时，求使f（x）=x成立的x的集合；
（Ⅱ） 判断函数y=f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值．

20. 难度：中等

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，短轴两个端点为A、B，且四边形F₁AF₂B是边长为2的正方形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．
（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}各项均不为0，其前n项和为S_n，且对任意n∈N^*都有（1-p）S_n=p-pa_n（p为大于1的常数），记．
（1）求a_n；
（2）试比较f（n+1）与的大小（n∈N^*）；
（3）求证：，（n∈N^*）．