2013年辽宁省沈阳市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数（i为虚数单位）对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

已知非空集合A，B，全集U=A∪B，集合M=A∩B，集合N=（C_UB）∩（C_UA），则（ ）
A．M∪N=M
B．M∩N=∅
C．M=N
D．M⊆N

3. 难度：中等

已知{a_n}是等差数列，a₄=15，S₅=55，则过点P（3，a₃），Q（4，a₄）的直线斜率为（ ）
A．4
B．
C．-4
D．-

4. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输入a=2，则输出的结果为（ ）

A．3
B．4
C．5
D．6

5. 难度：中等

椭圆C：与动直线l：2mx-2y-2m+1=0（m∈R），则直线l与椭圆C交点的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．不确定

6. 难度：中等

“a=1”是“（1+ax）⁶的展开式的各项系数之和为64”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

7. 难度：中等

一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，有，则a₁a₂…a₆=（ ）
A．
B．
C．±3⁵
D．3⁶

9. 难度：中等

已知关于x的方程有正根，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，1）
B．（0.1，10）
C．（0.1，1）
D．（10，+∞）

10. 难度：中等

已知点O为△ABC外接圆的圆心，且由，则△ABC的内角A等于（ ）

A．30°
B．60°
C．90°
D．120°

11. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+ωπ）（A＞0，ω＞0）的图象在[-，-]上单调递增，则ω的最大值是（ ）
A．
B．
C．1
D．2

12. 难度：中等

定义在（0，）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f（x）＜f′（x）tanx成立，则（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

=    ．

14. 难度：中等

将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，有    种放法．（用数字作答）

15. 难度：中等

已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F₁，F₂，且它们在第一象限的交点为P，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形．若|PF₁|=10，双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．则该椭圆的离心率的取值范围是    ．

16. 难度：中等

三棱锥A-BCD的外接球为球O，△ABC与△ACD都是以AC为斜边的直角三角形，△BCD是以BD为斜边的等腰直角三角形，且BD=，向量与的夹角为，则球O的表面积为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角A；
（2）若a=1，求△ABC的面积S的最大值．

18. 难度：中等

如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO₁折成直二面角，如图2．
（Ⅰ）证明：AC⊥BO₁；
（Ⅱ）求二面角O-AC-O₁的大小．

19. 难度：中等

在一次数学测验后，班级学委对选答题的选题情况进行统计，如下表：

	平面几何选讲	极坐标与参数方程	不等式选讲	合计
男同学（人数）	12	4	6	22
女同学（人数）		8	12	20
合计	12	12	18	42

（1）在统计结果中，如果把平面几何选讲和极坐标与参数方程称为几何类，把不等式选讲称为代数类，我们可以得到如下2×2列联表：

	几何类	代数类	合计
男同学（人数）	16	6	22
女同学（人数）	8	12	20
合计	24	18	42

据此统计你是否认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关，若有关，你有多大的把握？
（2）在原统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出7名同学进行座谈．已知这名学委和两名数学科代表都在选做“不等式选讲”的同学中．
①求在这名学委被选中的条件下，两名数学科代表也被选中的概率；
②记抽取到数学科代表的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．
下面临界值表仅供参考：

P（x^2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

20. 难度：中等

已知抛物线C：y²=x，过定点A（x，0），作直线l交抛物线于P，Q（点P在第一象限）．
（Ⅰ）当点A是抛物线C的焦点，且弦长|PQ|=2时，求直线l的方程；
（Ⅱ）设点Q关于x轴的对称点为M，直线PM交x轴于点B，且BP⊥BQ．求证：点B的坐标是（-x，0）并求点B到直线l的距离d的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=，a∈R且a≠0．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＜0时，若，证明：．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA是过点A的直线，且∠PAC=∠ABC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）如果弦CD交AB于点E，AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3，求直径AB的长．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆C的方程是x²+y²-4x=0，圆心为C．在以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C₁：与圆C相交于A，B两点．
（1）求直线AB的极坐标方程；
（2）若过点C（2，0）的曲线C₂：（t是参数）交直线AB于点D，交y轴于点E，求|CD|：|CE|的值．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-1|．
（1）解不等式：1≤f（x）+f（x-1）≤2；
（2）若a＞0，求证：f（ax）-af（x）≤f（a）．