2013年四川省资阳市高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={3，5}，则∁_U（A∪B）=（ ）
A．{1，2，4，5}
B．{1，5}
C．{2，4}
D．{2，5}

2. 难度：中等

函数f（x）=-1的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

下列有关选项正确的是（ ）
A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
B．“x=5”是“x²-4x-5=0”的充分不必要条件
C．命题“若x＜-1，则x²-2x-3＞0”的否定为：“若x≥-1，则x²-3x+2≤0”
D．已知命题p：∃x∈R，使得x²+x-1＜0，则¬p：∃x∈R，使得x²+x-1≥0

4. 难度：中等

已知直线l，m和平面α，则下列命题正确的是（ ）
A．若l∥m，m⊂α，则l∥α
B．若l∥α，m⊂α，则l∥m
C．若l⊥m，l⊥α，则m⊥α
D．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m

5. 难度：中等

以抛物线y²=4x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是（ ）
A．（x-2）²+y²=4
B．（x-1）²+y²=4
C．（x-2）²+y²=2
D．（x-1）²+y²=2

6. 难度：中等

式子log₂（log₂16）+×（）^-5=（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10

7. 难度：中等

实数x，y满足不等式组，则x+y的最大值为（ ）
A．2
B．1
C．
D．0

8. 难度：中等

下列不等式成立的是（ ）
A．sin（-）＞sin（-）
B．sin
C．tan（）
D．cos（-）＞cos（-）

9. 难度：中等

执行右图所示的程序框图（其中[x]表示不超过x的最大整数），则输出的S值为（ ）

A．4
B．5
C．7
D．9

10. 难度：中等

已知定义在[1，+∞）上的函数f（x）=，则（ ）
A．函数f（x）的值域为[1，4]
B．关于x的方程f（x）-=0（n∈N^*）有2n+4个不相等的实数根
C．当x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N^*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的面积为2
D．存在实数x，使得不等式xf（x）＞6成立

二、填空题

11. 难度：中等

已知i是虚数单位，x，y∈R，若x-3i=（8x-y）i，则x+y=    ．

12. 难度：中等

双曲线y²-4x²=64上一点P到它的一个焦点的距离等于1，则P到它的另一个焦点的距离等于为    ．

13. 难度：中等

已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为    ．

14. 难度：中等

观察等式：
①sin²30°+cos²60°+sin30°cos60°=
②sin²20°+cos²50°+sin20°cos50°=
③sin²15°+cos²45°+sin15°cos45°=
归纳各等式的共同特征，写出一个能反映一般规律的等式    ．

15. 难度：中等

如图，A、B分别是射线OM、ON上的点，给出下列以O为起点的向量：①；②； ③；④；⑤．其中终点落地阴影区域内的向量的序号是    （写出满足条件的所有向量的序号）．

三、解答题

16. 难度：中等

在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且．
（1）确定角C的大小；
（2）若，且△ABC的面积为，求a+b的值．

17. 难度：中等

某部门对当地城乡居民进行了主题为“你幸福吗？”的幸福指数问卷调査，根据每份调查表得到每个调查对象的幸福指数评分值（百分制）．现从收到的调查表中随机抽取20份进行统计，得到右图所示的频率分布表：

幸福指数评分值	频数	频率
[50，60]	1
（60，70]	6
（70，80]
（80，90]	3
（90，100]	2

（Ⅰ）请完成题目中的频率分布表，并补全题目中的频率分布直方图；
（Ⅱ）该部门将邀请被问卷调查的部分居民参加“幸福愿景”的座谈会．在题中抽样统计的这20人中，已知幸福指数评分值在区间（80，100]的5人中有2人被邀请参加座谈，求其中幸福指数评分值在区间（80，90]的仅有1人被邀请的概率．

18. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，D、E分别为A₁B₁、AA₁的中点，点F在棱AB上，且．
（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC₁；
（Ⅱ）在棱AC上是否存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，2a_n+1+3S_n=3n+4（n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n-1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=λa_n-λ-n²，若b_2n-1＞b_2n恒成立，求实数λ的取值范围．

20. 难度：中等

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过（1，1）与（，）两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|．求证：++为定值．

21. 难度：中等

设函数f（x）=x³-x²-3．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）-m在[-1，2]上有三个零点，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）设函数g（x）=+xlnx，如果对任意的x₁，x₂∈[，2]，都有f（x₁）≤g（x₂）成立，求实数a的取值范围．