2013年上海市闸北区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

设为虚数单位，集合A={1，-1，i，-i}，集合，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

函数的反函数为    ．

3. 难度：中等

（1+2x）³（1-x）⁴展开式中x²的系数为    ．

4. 难度：中等

一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球共10个．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是．从袋中任意摸出2个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望Eξ=    ．

5. 难度：中等

半径为r的球的内接圆柱的最大侧面积为    ．

6. 难度：中等

设M（x，y，z）为空间直角坐标系内一点，点M在xOy平面上的射影P的极坐标为（ρ，θ）（极坐标系以O为极点，以x轴为极轴），则我们称三元数组（ρ，θ，z）为点M的柱面坐标．已知M点的柱面坐标为，则直线OM与xOz平面所成的角为    ．

7. 难度：中等

设y=f（x）为R上的奇函数，y=g（x）为R上的偶函数，且g（x）=f（x+1），g（0）=2．则f（x）=    ．（只需写出一个满足条件的函数解析式即可）

8. 难度：中等

某商场在节日期间举行促销活动，规定：
（1）若所购商品标价不超过200元，则不给予优惠；
（2）若所购商品标价超过200元但不超过500元，则超过200元的部分给予9折优惠；
（3）若所购商品标价超过500元，其500元内（含500元）的部分按第（2）条给予优惠，超过500元的部分给予8折优惠．
某人来该商场购买一件家用电器共节省330元，则该件家电在商场标价为    ．

9. 难度：中等

设，，x∈[1，2），且，则函数的最大值为    ．

二、选择题

10. 难度：中等

命题“对任意的x∈R，f（x）＞0”的否定是（ ）
A．对任意的x∈R，f（x）≤0
B．对任意的x∈R，f（x）＜0
C．存在x∈R，f（x）＞0
D．存在x∈R，f（x）≤0

11. 难度：中等

设函数f（x）=lg（a^x-b^x）（a＞1＞b＞0），若f（x）取正值的充要条件是x∈[1，+∞），则a，b满足（ ）
A．ab＞1
B．a-b＞1
C．ab＞10
D．a-b＞10

12. 难度：中等

在xOy平面上有一系列的点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…，对于所有正整数n，点P_n位于函数y=x²（x≥0）的图象上，以点P_n为圆心的⊙P_n与x轴相切，且⊙P_n与⊙P_n+1又彼此外切，若x₁=1，且x_n+1＜x_n．则=（ ）
A．0
B．0.2
C．0.5
D．1

三、解答题

13. 难度：中等

已知向量和，θ∈（π，2π），且，求的值．

14. 难度：中等

某粮仓是如图所示的多面体，多面体的棱称为粮仓的“梁”．现测得底面ABCD是矩形，AB=16米，AD=4米，腰梁AE、BF、CF、DE分别与相交的底梁所成角均为60°．
（1）请指出所有互为异面的且相互垂直的“梁”，并说明理由；
（2）若不计粮仓表面的厚度，该粮仓可储存多少立方米粮食？

15. 难度：中等

和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹．在空间直角坐标系O-xyz中，空间曲面的方程是一个三元方程F（x，y，z）=0．
设F₁、F₂为空间中的两个定点，|F₁F₂|=2c＞0，我们将曲面Γ定义为满足|PF₁|+|PF₂|=2a（a＞c）的动点P的轨迹．
（1）试建立一个适当的空间直角坐标系O-xyz，求曲面Γ的方程；
（2）指出和证明曲面Γ的对称性，并画出曲面Γ的直观图．

16. 难度：中等

设数列{a_n}与{b_n}满足：对任意n∈N^*，都有，．其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）当b=2时，求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）当b≠2时，求数列{a_n}的前n项和S_n．

17. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C₁为到定点的距离与到定直线的距离相等的动点P的轨迹，曲线C₂是由曲线C₁绕坐标原点O按顺时针方向旋转30°形成的．
（1）求曲线C₁与坐标轴的交点坐标，以及曲线C₂的方程；
（2）过定点M（m，0）（m＞2）的直线l₂交曲线C₂于A、B两点，已知曲线C₂上存在不同的两点C、D关于直线l₂对称．问：弦长|CD|是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，请说明理由．