2013年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，那么集合∁_UA为（ ）
A．{3}
B．{3，4}
C．{1，2}
D．{2，3}

2. 难度：中等

已知ABCD为平行四边形，若向量，，则向量为（ ）
A．-
B．+
C．-
D．--

3. 难度：中等

已知圆的方程为（x-1）²+（y-2）²=4，那么该圆圆心到直线（t为参数）的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于且小于，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1-2a_n=0，b_n=log₂a_n，那么数列{b_n}的前10项和等于（ ）
A．130
B．120
C．55
D．50

6. 难度：中等

已知F₁（-c，0），F₂（c，0）分别是双曲线C₁：（a＞0，b＞0）的两个焦点，双曲线C₁和圆C₂：x²+y²=c²的一个交点为P，且2∠PF₁F₂=∠PF₂F₁，那么双曲线C₁的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．

7. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）的对称轴为x=-3，且当x≥-3时，f（x）=2^x-3．若函数f（x）在区间（k-1，k）（k∈Z）上有零点，则k的值为（ ）
A．2或-7
B．2或-8
C．1或-7
D．1或-8

8. 难度：中等

已知向量，，O是坐标原点，若||=k||，且方向是沿的方向绕着A点按逆时针方向旋转θ角得到的，则称经过一次（θ，k）变换得到．现有向量=（1，1）经过一次（θ₁，k₁）变换后得到，经过一次（θ₂，k₂）变换后得到，…，如此下去，经过一次（θ_n，k_n）变换后得到．设=（x，y），，，则y-x等于（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

复数z=（2-i）i的虚部是    ．

10. 难度：中等

的展开式中x³的系数是    ．

11. 难度：中等

如图是甲、乙两名同学进入高中以来5次体育测试成绩的茎叶图，则甲5次测试成绩的平均数是    ，乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是    ．

12. 难度：中等

如图，已知PA与圆O相切于A，半径OC⊥OP，AC交PO于B，若OC=1，OP=2，则PA=    ，PB=    ．

13. 难度：中等

有甲、乙、丙在内的6个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻，丙不排在两头，则这样的排法共有    种．

14. 难度：中等

数列{a_n}的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，若（a≠0），则位于第10行的第8列的项等于    ，a₂₀₁₃在图中位于    ．（填第几行的第几列）

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若，求ac的最大值．

16. 难度：中等

如图，已知ACDE是直角梯形，且ED∥AC，平面ACDE⊥平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，AAB=AC=AE=2，，P是BC的中点．
（Ⅰ）求证：DP∥平面EAB；
（Ⅱ）求平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值．

17. 难度：中等

某班联欢会举行抽奖活动，现有六张分别标有1，2，3，4，5，6六个数字的形状相同的卡片，其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片，且奖品个数与卡片上所标数字相同，游戏规则如下：每人每次不放回抽取一张，抽取两次．
（Ⅰ）求所得奖品个数达到最大时的概率；
（Ⅱ）记奖品个数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=（x²+ax+a）e^-x，（a为常数，e为自然对数的底）．
（Ⅰ）当a=0时，求f′（2）；
（Ⅱ）若f（x）在x=0时取得极小值，试确定a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设由f（x）的极大值构成的函数为g（a），将a换元为x，试判断曲线y=g（x）是否能与直线3x-2y+m=0（ m为确定的常数）相切，并说明理由．

19. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁，F₂，离心率为，过F₁的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF₂的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A，B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求出这个定值．

20. 难度：中等

设A是由n个有序实数构成的一个数组，记作：A=（a₁，a₂，…，a_i，…，a_n）．其中a_i（i=1，2，…，n）称为数组A的“元”，S称为A的下标．如果数组S中的每个“元”都是来自 数组A中不同下标的“元”，则称A=（a₁，a₂，…，a_n）为B=（b₁，b₂，…b_n）的子数组．定义两个数组A=（a₁，a₂，…，a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n）的关系数为C（A，B）=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n．
（Ⅰ）若，B=（-1，1，2，3），设S是B的含有两个“元”的子数组，求C（A，S）的最大值；
（Ⅱ）若，B=（0，a，b，c），且a²+b²+c²=1，S为B的含有三个“元”的子数组，求C（A，S）的最大值；
（Ⅲ）若数组A=（a₁，a₂，a₃）中的“元”满足．设数组B_m（m=1，2，3，…，n）含有四个“元”b_m1，b_m2，b_m3，b_m4，且，求A与B_m的所有含有三个“元”的子数组的关系数C（A，B_m）（m=1，2，3，…，n）的最大值．