2013年北京市西城区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={x∈Z||x|＜5}，集合A={-2，1，3，4}，B={0，2，4}，那么A∩∁_UB=（ ）
A．{-2，1，4}
B．{-2，1，3}
C．{0，2}
D．{-2，1，3，4}

2. 难度：中等

复数 =（ ）
A．1+i
B．-1+i
C．-1-i
D．1-i

3. 难度：中等

执行如图所示的程序框图．若输出，则输入角θ=（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

设等比数列{a_n}的公比为q，前n项和为S_n，且a₁＞0．若S₂＞2a₃，则q的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设实数x，y满足条件 ，则y-4x的最大值是（ ）
A．-4
B．
C．4
D．7

7. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+bx+c，则“c＜0”是“∃x∈R，使f（x）＜0”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

8. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱B₁C₁的中点，动点P在底面ABCD内，且PA₁=A₁E，则点P运动形成的图形是（ ）

A．线段
B．圆弧
C．椭圆的一部分
D．抛物线的一部分

二、填空题

9. 难度：中等

已知向量=（1，0），=（0，1）．若向量+λ与λ+垂直，则实数λ=    ．

10. 难度：中等

已知函数则=    ．

11. 难度：中等

抛物线y²=2x的准线方程是    ；该抛物线的焦点为F，点M（x，y）在此抛物线上，且，则x=    ．

12. 难度：中等

某厂对一批元件进行抽样检测．经统计，这批元件的长度数据 （单位：mm）全部介于93至105之间．将长度数据以2为组距分成以下6组：[93，95），[95，97），[97，99），[99，101），[101，103），[103，105]，得到如图所示的频率分布直方图．若长度在[97，103）内的元件为合格品，根据频率分布直方图，估计这批产品的合格率是    ．

13. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，且．若c=10，则△ABC的面积是    ．

14. 难度：中等

已知数列{a_n}的各项均为正整数，其前n项和为S_n．若且S₃=29，则a₁=    ；S_3n=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=sinx+acosx的一个零点是．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）设g（x）=[f（x）]²-2sin²x，求g（x）的单调递增区间．

16. 难度：中等

在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，，AB=2BC=2，AC⊥FB．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；
（Ⅱ）求四面体FBCD的体积；
（Ⅲ）线段AC上是否存在点M，使EA∥平面FDM？证明你的结论．

17. 难度：中等

某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．
（Ⅰ）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于14元的概率为，求甲停车付费恰为6元的概率；
（Ⅱ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x+ax，g（x）=ax-lnx，其中a≤0．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）若存在区间M，使f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性，求a的取值范围．

19. 难度：中等

如图，已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．
（Ⅰ）若点G的横坐标为，求直线AB的斜率；
（Ⅱ）记△GFD的面积为S₁，△OED（O为原点）的面积为S₂．试问：是否存在直线AB，使得S₁=S₂？说明理由．

20. 难度：中等

已知集合．对于A=（a₁，a₂，…，a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n）∈S_n，定义；λ（a₁，a₂，…，a_n）=（λa₁，λa₂，…，λa_n）（λ∈R）；A与B之间的距离为．
（Ⅰ）当n=5时，设A=（1，2，1，2，5），B=（2，4，2，1，3），求d（A，B）；
（Ⅱ）证明：若A，B，C∈S_n，且∃λ＞0，使，则d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）；
（Ⅲ）记I=（1，1，…，1）∈S₂₀．若A，B∈S₂₀，且d（I，A）=d（I，B）=13，求d（A，B）的最大值．