2009年山东省烟台市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设函数y=的定义域为M，集合N={y|y=x²，x∈R}，则M∩N等于（ ）
A．∅
B．N
C．[1，+∞）
D．M

2. 难度：中等

已知x∈R，i是虚数单位，若（1-2i）（x+i）=4-3i，则x的值等于（ ）
A．2
B．-2
C．6
D．-6

3. 难度：中等

已知函数f（x）=xsin126°sin（x-36°）+xcos54°cos（x-36°），则f（x）是（ ）
A．单调递增函数
B．单调递减函数
C．奇函数
D．偶函数

4. 难度：中等

若数列{a_n}满足（d为正常数，n∈N₊），则称{a_n}为“等方差数列”．甲：数列{a_n}为等方差数列；乙：数列{a_n}为等差数列，则甲是乙的（ ）
A．充分不必条件
B．必不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

5. 难度：中等

m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面．下列命题为真命题的是（ ）
A．若m∥α，m∥n，则n∥α
B．若m⊥α，n⊥β、则n⊥m
C．若m⊥α，m∥β，则α⊥β
D．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β

6. 难度：中等

若函数的图象在x=0处的切线l与圆C：x²+y²=1相离，则P（a，b）与圆C的位置关系是（ ）
A．在圆外
B．在圆内
C．在圆上
D．不能确定

7. 难度：中等

已知f（x）=是（-∞，+∞）上的增函数，那么a的取值范围是（ ）
A．（1，+∞）
B．（-∞，3）
C．（，3）
D．（1，3）

8. 难度：中等

已知抛物线y²=4x上一点，A（x，y），F是其焦点，若y∈[1，2]，则|AF|的范围是（ ）
A．
B．
C．[1，2]
D．[2，3]

9. 难度：中等

设则下列结论正确的是（ ）
A．M＜1
B．M=
C．M＜2
D．

10. 难度：中等

函数y=sinx和y=cosx的图象在[0，8π]内的所有交点中，能确定的不同直线的条数是（ ）
A．28
B．18
C．16
D．6

11. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-2|x|，方程|f（x）|=a有6个不同的实根．则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜-1
B．-1＜a＜0
C．0＜a＜1
D．a＞1

12. 难度：中等

如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{a_n}（n∈N^*）的前12项（即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项），按如此规律下去，则a₂₀₀₉+a₂₀₁₀+a₂₀₁₁等于（ ）

A．1003
B．1005
C．1006
D．2011

二、填空题

13. 难度：中等

已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是    cm³．

14. 难度：中等

若函数f（x）=1+c₈¹x+c₈²x²+…+c₈⁸x⁸（x∈R），则log₂f（3）=    ．

15. 难度：中等

对任意非零实数a、b．若a⊗b的运算原理如图所示．则=    ．

16. 难度：中等

设x，a∈N₊，且关于不等式|x-1|＜a的解集有且仅有5个元素．则a的值是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

设非负实数x、y满足不等式组
（1）如图在所给的坐标系中，画出不等式组所表示的平面区域；
（2）求k=x+3y的取值范围；
（3）在不等式组所表示的平面区域内，求点（x，y）落在x∈[1，2]区域内的概率．

18. 难度：中等

已知f（x）=•，其中，=（cosωx-sinωx，2sinωx）（ω＞0）．若f（x）图象中相邻的对称轴间的距离不小于．
（1）求ω的取值范围
（2）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．且a=，b+c=3，f（A）=1，当ω最大时．求△ABC面积．

19. 难度：中等

如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，经平面AEFG所截后得到的图形．其中∠BAE=∠GAD=45°，AB=2AD=2，∠BAD=60°．
（1）求证：BD⊥平面ADG．
（2）求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

20. 难度：中等

甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．记录如下：
甲：82 81 79 78 95 88 93 84
乙：92 95 80 75 83 80 90 85
（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数；
（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适？请说明理由；
（3）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

21. 难度：中等

设椭圆C₁、抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点，从每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于表中：

x	3	-2	4
y	-2	0	-4		-

（1）求C₁、C₂的标准方程；
（2）设直线l与椭圆C₁交于不同两点M、N，且，请问是否存在这样的直线l过抛物线C₂的焦点F？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=g^x-x （g为自然对数的底数）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）设不等式f（x）＞ax的解集为P，若M={x|}，且M∩P≠∅，求实数a的取值范围；
（3）已知n∈N⁺，且S，是否存在等差数列{a_n}和首项为f（1）公比大于0的等比数列{b_n}，使得？若存在，请求出数列{a_n}，{b_n}的通项公式．若不存在，请说明理由．