2013年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，那么集合∁_UA为（ ）
A．{3}
B．{3，4}
C．{1，2}
D．{2，3}

2. 难度：中等

“a=1”是“直线x+2y=0与直线x+（a+1）y+4=0平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知ABCD为平行四边形，若向量，，则向量为（ ）
A．-
B．+
C．-
D．--

4. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的结果是，则判断框内应填入的条件是（ ）

A．n≤5？
B．n＜5？
C．n＞5？
D．n≥5？

5. 难度：中等

已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），那么这个几何体的侧面积是（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知点A（2，1），抛物线y²=4x的焦点是F，若抛物线上存在一点P，使得|PA|+|PF|最小，则P点的坐标为（ ）
A．（2，1）
B．（1，1）
C．
D．

7. 难度：中等

对于函数y=f（x），部分x与y的对应关系如下表：

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9
y	7	4	5	8	1	3	5	2	6

数列{x_n}满足x₁=2，且对任意n∈N^*，点（x_n，x_n+1）都在函数y=f（x）的图象上，则x₁+x₂+x₃+x₄+…+x₂₀₁₂+x₂₀₁₃的值为（ ）
A．9394
B．9380
C．9396
D．9400

8. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）的对称轴为x=-3，且当x≥-3时，f（x）=2^x-3．若函数f（x）在区间（k-1，k）（k∈Z）上有零点，则k的值为（ ）
A．2或-7
B．2或-8
C．1或-7
D．1或-8

二、填空题

9. 难度：中等

已知i是虚数单位，那么i（1+i）等于    ．

10. 难度：中等

如图是甲、乙两名同学进入高中以来5次体育测试成绩的茎叶图，则甲5次测试成绩的平均数是    ，乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是    ．

11. 难度：中等

不等式组表示的平面区域为D，则区域D的面积为    ，z=x+y的最大值为    ．

12. 难度：中等

从1，3，5，7这四个数中随机地取两个数组成一个两位数，则组成的两位数是5的倍数的概率为    ．

13. 难度：中等

函数的图象为C，有如下结论：
①图象C关于直线对称；
②图象C关于点对称；
③函数f（x）在区间内是增函数，
其中正确的结论序号是    ．（写出所有正确结论的序号）

14. 难度：中等

数列{a_n}的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，若（a≠0），则位于第10行的第8列的项等于    ，a₂₀₁₃在图中位于    ．（填第几行的第几列）

三、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若，求ac的最大值．

16. 难度：中等

如图，已知AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，F为BC的中点，若．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BCE．

17. 难度：中等

为了解高三学生综合素质测评情况，对2000名高三学生的测评结果进行了统计，其中优秀、良好、合格三个等级的男、女学生人数如下表：

	优秀	良好	合格
男生人数	x	380	373
女生人数	y	370	377

（Ⅰ）若按优秀、良好、合格三个等级分层，在这2000份综合素质测评结果中随机抽取80份进行比较分析，应抽取综合素质测评结果是优秀等级的多少份？
（Ⅱ）若x≥245，y≥245，求优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=mlnx+（m-1）x（m∈R）．
（Ⅰ）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；
（ III）若f（x）存在最大值M，且M＞0，求m的取值范围．

19. 难度：中等

已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁，F₂，离心率为，且过点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）M，N，P，Q是椭圆C上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F₁，F₂，且这两条直线互相垂直，求证：为定值．

20. 难度：中等

设A是由n个有序实数构成的一个数组，记作：A=（a₁，a₂，…，a_i，…，a_n）．其中a_i（i=1，2，…，n）称为数组A的“元”，S称为A的下标．如果数组S中的每个“元”都是来自 数组A中不同下标的“元”，则称A=（a₁，a₂，…，a_n）为B=（b₁，b₂，…b_n）的子数组．定义两个数组A=（a₁，a₂，…，a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n）的关系数为C（A，B）=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n．
（Ⅰ）若，B=（-1，1，2，3），设S是B的含有两个“元”的子数组，求C（A，S）的最大值；
（Ⅱ）若，B=（0，a，b，c），且a²+b²+c²=1，S为B的含有三个“元”的子数组，求C（A，S）的最大值．