2013年广东省广州市高考数学二模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

命题“∃x∈R，x²+4x+5≤0”的否定是（ ）
A．∃x∈R，x²+4x+5＞0
B．∃x∈R，x²+4x+5≤0
C．∀x∈R，x²+4x+5＞0
D．∀x∈R，x²+4x+5≤0

2. 难度：中等

如果函数f（x）=ln（-2x+a）的定义域为（-∞，1），则实数a的值为（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2

3. 难度：中等

对于任意向量、、，下列命题中正确的是（ ）
A．|•|=||||
B．|+|=||+丨丨
C．= 
D．•=||²

4. 难度：中等

直线y=k（x+1）与圆（x+1）²+y²=1相交于A，B两点，则|AB|的值为（ ）
A．2
B．1
C．
D．与k有关的数值

5. 难度：中等

若1-i（i是虚数单位）是关于x的方程x²+2px+q=0（p、q∈R）的一个解，则p+q=（ ）
A．-3
B．-1
C．1
D．3

6. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）
A．225
B．196
C．169
D．144

7. 难度：中等

若函数y=cosωx（ω∈N）的一个对称中心是（，0），则ω的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．6
D．9

8. 难度：中等

一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示．若一个平 行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为l：7的上、下两部分，则截面的面积为．
A．
B．π
C．
D．4π

9. 难度：中等

已知0＜a＜1，0＜x≤y＜1，且log_ax．log_ay=1，那么xy的取值范围为（ ）
A．（0，a²]
B．（0，a]
C．（0，]
D．（0，]

10. 难度：中等

某校高三（1）班50个学生选择选修模块课程，他们在A、B、C三个模块中进行选择，R至少需要选择l 个模块，具体模块选择的情况如下表：

模块	模块选择的学生人数	模块	模块选择的学生人数
A	28	A与B	11
B	26	A与C	12
C	26	B与C	13

则三个模块都选择的学生人数是（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4

二、填空题

11. 难度：中等

如图，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为 圆心，l为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M （图中白色部分）．若在此三角形内随机取一点P，则点P落在区 域M内的概率为    ．

12. 难度：中等

已知α为锐角，且，则sinα=    ．

13. 难度：中等

数列{a_n}的项是由l或2构成，且首项为1，在第k个l和第k+1个l之间有2k-1 个2，即数列{a_n} 为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列 {a_n}的前n项和为S_n，则S₂₀=    ； S₂₀₁₃=    ．

14. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）
在△BC中，D是边AC的中点，点E在线段BD上，且满足BE=BD，延长AE交 BC于点F，则的值为    ．

15. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，已知点A（1，），点P是曲线ρsin²θ=4cosθ上任意一点，设点P到直线ρcosθ+1=0的距离为d，则丨PA丨+d的最小值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中 以班为单位（每班学生50人），每班按随机抽样抽取了8名学生的视力数据．其中高三
（1）班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：

视力数据	4.0	4.1	4.2	4.3	4.4	4.5	4.6	4.7	4.8	4.9	5.0	5.1	5.2	5.3
人数					2		2		2	1		1

（1）用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值；
（2）已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4，4.5、4.6、4.8．若从这六个 班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率．

17. 难度：中等

某单位有A、B、C三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点0，使得发射点到 三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为AB=80m，BC=70m，CA=50m．假定A、B、C、O四点在同一平面内．
（1）求∠BAC的大小；
（2）求点O到直线BC的距离．

18. 难度：中等

如图，在三棱锥P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°．
（1）求证：平面PBC丄平面PAC
（2）已知PA=1，AB=2，当三棱锥P-ABC的体积 最大时，求BC的长．

19. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₁+a₂=5，a₃=7，记数列{}的前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在正整数m、n，且1＜m＜n，使得S₁、S_ntS_n成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m，n值；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-2alnx （a∈且a≠0）．
（1）若f（x）在定义域上为增函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值．

21. 难度：中等

经过点F （0，1）且与直线y=-1相切的动圆的圆心轨迹为M点A、D在轨迹M上，且关于y轴对称，过线段AD （两端点除外）上的任意一点作直线l，使直线l与轨迹M 在点D处的切线平行，设直线l与轨迹M交于点B、C．
（1）求轨迹M的方程；
（2）证明：∠BAD=∠CAD；
（3）若点D到直线AB的距离等于，且△ABC的面积为20，求直线BC的方程．