2013年江苏省盐城市高考数学二模试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若集合A={1，m-2}，且A∩B={2}，则实数m的值为    ．

2. 难度：中等

若复数z满足（1-i）z=2（i为虚数单位），则|z|=    ．

3. 难度：中等

现有在外观上没有区别的5件产品，其中3件合格，2件不合格，从中任意抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为    ．

4. 难度：中等

已知正六棱锥的底面边长是3，侧棱长为5，则该正六棱锥的体积是    ．

5. 难度：中等

若，是两个单位向量，，，且⊥，则，的夹角为    ．

6. 难度：中等

如图，该程序运行后输出的结果为    ．

7. 难度：中等

函数，x∈[-π，0]的单调递增区间为    ．

8. 难度：中等

若等比数列{a_n}满足a_m-3=4且（m∈N^*且m＞4），则a₁a₅的值为    ．

9. 难度：中等

过点（2，3）且与直线l₁：y=0和l₂：都相切的所有圆的半径之和为    ．

10. 难度：中等

设函数y=f（x）满足对任意的x∈R，f（x）≥0且f²（x+1）+f²（x）=9．已知当x∈[0，1]时，有f（x）=2-|4x-2|，则的值为    ．

11. 难度：中等

椭圆（a＞b＞0）的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于A，B两点，若△FAB的周长最大时，△FAB的面积为ab，则椭圆的离心率为    ．

12. 难度：中等

定义运算a⊕b=，则关于非零实数x的不等式（x+）⊕4≥8（x⊕）的解集为    ．

13. 难度：中等

若点G为△ABC的重心，且AG⊥BG，则sinC的最大值为    ．

14. 难度：中等

若实数a、b、c、d满足，则（a-c）²+（b-d）²的最小值为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=PB=PD=AB=BC=CD=DA=DB=2，E为的PC中点．
（1）求证：PA∥平面BDE；
（2）求证：平面PBC⊥平面PDC．

17. 难度：中等

如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了A、B两个报名点，满足A、B、C中任意两点间的距离为10千米．公司拟按以下思路运作：先将A、B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处（点D异于A、B两点），然后乘同一艘游轮前往C岛．据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2元，游轮每千米耗费12元．设∠CDA=α，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本S元．
（1）写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；
（2）问中转点D距离A处多远时，S最小？

18. 难度：中等

如图，圆O与离心率为的椭圆T：（a＞b＞0）相切于点M（0，1）．
（1）求椭圆T与圆O的方程；
（2）过点M引两条互相垂直的两直线l₁、l₂与两曲线分别交于点A、C与点B、D（均不重合）．
①若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d₁、d₂，求的最大值；
②若，求l₁与l₂的方程．

19. 难度：中等

设函数（n∈N^*，a，b∈R）．
（1）若a=b=1，求f₃（x）在[0，2]上的最大值和最小值；
（2）若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f₃（x₁）-f₃（x₂）|≤1，求a的取值范围；
（3）若|f₄（x）|在[-1，1]上的最大值为，求a，b的值．

20. 难度：中等

设S_n是各项均为非零实数的数列{a_n}的前n项和，给出如下两个命题上：命题p：{a_n}是等差数列；命题q：等式对任意n（n∈N^*）恒成立，其中k，b是常数．
（1）若p是q的充分条件，求k，b的值；
（2）对于（1）中的k与b，问p是否为q的必要条件，请说明理由；
（3）若p为真命题，对于给定的正整数n（n＞1）和正数M，数列{a_n}满足条件，试求S_n的最大值．

21. 难度：中等

（选修4-1：几何证明选讲）
如图，AB是⊙O的直径，C、E为⊙O上的点，且CA平分∠BAE，DC是⊙O的切线，交AE的延长线于点D．求证：CD⊥AE．

22. 难度：中等

（选修4-2：矩阵与变换）
求曲线2x²-2xy+1=0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程，其中，．

23. 难度：中等

（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，求直线l截圆C所得的弦长．

24. 难度：中等

（选修4-5：不等式选讲）
若，证明．

25. 难度：中等

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为4，D为的CC₁中点．
（1）求证：AB₁⊥平面A₁BD；
（2）求二面角A-A₁D-B的余弦值．

26. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=2，．
（1）证明：a_n＞n（n≥3）；
（2）证明：．