2013年上海市普陀区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

函数的定义域为    ．

2. 难度：中等

若z₁=a+2i，z₂=1+i（i表示虚数单位），且为纯虚数，则实数a=    ．

3. 难度：中等

若且sin2θ＜0，则=    ．

4. 难度：中等

若点（4，2）在幂函数f（x）的图象上，则函数f（x）的反函数f^-1（x）=    ．

5. 难度：中等

若，则=    ．

6. 难度：中等

若函数f（x）=x²+ax+1是偶函数，则函数的最小值为    ．

7. 难度：中等

已知双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为    ．

8. 难度：中等

某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为ξ，则ξ的方差Dξ=    ．

9. 难度：中等

若曲线Γ：（θ为参数且），则Γ的长度为    ．

10. 难度：中等

若三条直线ax+y+3=0，x+y+2=0和2x-y+1=0相交于一点，则行列式的值为    ．

11. 难度：中等

△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若，b=2c，则C=    ．

12. 难度：中等

若圆C的半径为3，单位向量所在的直线与圆相切于定点A，点B是圆上的动点，则的最大值为    ．

13. 难度：中等

函数y=sin²x+2cosx在区间[-，a]上的值域为[-，2]，则a的取值范围是     ．

14. 难度：中等

若a_i，j表示n×n阶矩阵中第i行、第j列的元素，其中第1行的元素均为1，第1列的元素为1，2，3，…，n，且a_i+1，j+1=a_i+1，j+a_i，j（i、j=1，2，…，n-1），则a_3，n=    ．

二、选择题

15. 难度：中等

若集合A={x|y²=4x，y∈R}，，则A∩B=（ ）
A．[0，1]
B．（-2，1]
C．（-2，+∞）
D．[1，+∞）

16. 难度：中等

若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S₁、S₂，则S₁：S₂=（ ）
A．1：1
B．2：1
C．3：2
D．4：1

17. 难度：中等

若a∈R，则“关于x的方程x²+ax+1=0无实根”是“z=（2a-1）+（a-1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的（ ）
A．充分非必要条件．
B．必要非充分条件．
C．充要条件．
D．既非充分又非必要条件．

18. 难度：中等

如图，△ABC是边长为1的正三角形，点P在△ABC所在的平面内，且（a为常数）．下列结论中，正确的是（ ）

A．当0＜a＜1时，满足条件的点P有且只有一个．
B．当a=1时，满足条件的点P有三个．
C．当a＞1时，满足条件的点P有无数个．
D．当a为任意正实数时，满足条件的点P是有限个．

三、解答题

19. 难度：中等

已知函数f（x）=Acos（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x，2）和（x+2π，-2）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若锐角θ满足，求f（2θ）的值．

20. 难度：中等

已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log_a（x+1），，记F（x）=2f（x）+g（x）
（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；
（2）若关于x的方程F（x）-m=0在区间[0，1）内有解，求实数m的取值范围．

21. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1
（1）求直线DB与平面A₁BCD₁所成角的大小；
（2）求四棱锥D-BCD₁A₁的体积．

22. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，方向向量为的直线l经过椭圆的右焦点F，与椭圆相交于A、B两点
（1）若点A在x轴的上方，且，求直线l的方程；
（2）若k＞0，P（6，0）且△PAB的面积为6，求k的值；
（3）当k（k≠0）变化时，是否存在一点C（x，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0，若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

23. 难度：中等

对于任意的n∈N^*，若数列{a_n}同时满足下列两个条件，则称数列{a_n}具有“性质m”：
①；   ②存在实数M，使得a_n≤M成立．
（1）数列{a_n}、{b_n}中，a_n=n、（n=1，2，3，4，5），判断{a_n}、{b_n}是否具有“性质m”；
（2）若各项为正数的等比数列{c_n}的前n项和为S_n，且，，证明：数列{S_n}具有“性质m”，并指出M的取值范围；
（3）若数列{d_n}的通项公式（n∈N^*）．对于任意的n≥3（n∈N^*）．