2013年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设i为虚数单位，则复数等于（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

命题“∀x∈R，x²+1≥1”的否定是（ ）
A．∀x∈R，x²+1＜1
B．∃x∈R，x²+1≤1
C．∃x∈R，x²+1＜1
D．∃x∈R，x²+1≥1

3. 难度：中等

程序框图如图所示，该程序运行后输出的i的值是（ ）

A．10
B．11
C．12
D．13

4. 难度：中等

已知=（1，2），=（0，1），=（k，-2），若（+2）⊥，则k=（ ）
A．2
B．-2
C．8
D．-8

5. 难度：中等

已知实数x，y满足，则目标函数z=2x-y的最大值为（ ）
A．-3
B．
C．5
D．6

6. 难度：中等

已知集合M={x||x-4|+|x-1|＜5}，N={x|a＜x＜6}，且M∩N={2，b}，则a+b=（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9

7. 难度：中等

函数f（x）=e^x+x²-2在区间（-2，1）内零点的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的侧视图可以为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

设二次函数f（x）=ax²-4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为（ ）
A．3
B．
C．5
D．7

二、填空题

11. 难度：中等

课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4，12，8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为    ．

12. 难度：中等

函数y=sinx+sin（x-） 的最小正周期为    ，最大值是    ．

13. 难度：中等

观察下列不等式：
①＜1；②+；③；…则第5个不等式为    ．

14. 难度：中等

在极坐标系中，直线过点（1，0）且与直线（ρ∈R）垂直，则直线的极坐标方程为    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲）如图，M是平行四边形ABCD的边AB的中点，直线l过点M分别交AD，AC于点E，F．若AD=3AE，则AF：FC=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠C=45°，D为BC中点，BC=2．记锐角∠ADB=α．且满足cos2α=-．
（1）求cosα；
（2）求BC边上高的值．

17. 难度：中等

组别	候车时间	人数
一	[0，5）	2
二	[5，10）	6
三	[10，15）	4
四	[15，20）	2
五	[20，25]	1

城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：min）：
（1）求这15名乘客的平均候车时间；
（2）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；
（3）若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．

18. 难度：中等

如图，已知圆O的直径AB长度为4，点D为线段AB上一点，且，点C为圆O上一点，且．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=BD．
（1）求证：CD⊥平面PAB；
（2）求点D到平面PBC的距离．

19. 难度：中等

数列{a_n}的前n项和为S_n=2a_n-2，数列{b_n}是首项为a₁，公差不为零的等差数列，且b₁，b₃，b₁₁成等比数列．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（3）求证：＜5．

20. 难度：中等

已知A（-2，0），B（2，0），C（m，n）．
（1）若m=1，n=，求△ABC的外接圆的方程；
（2）若以线段AB为直径的圆O过点C（异于点A，B），直线x=2交直线AC于点R，线段BR的中点为D，试判断直线CD与圆O的位置关系，并证明你的结论．

21. 难度：中等

设函数f（x）=，x≠0．
（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式|f（x）-1|＜a成立．